扩展欧几里德和中国剩余定理

扩展欧几里德和中国剩余定理

/*
*/
#include <iostream>
using  namespace std;

/*
注意到对于gcd(a,b) = d 我们对(a, b)用欧几里德辗转相除会最终得到
(d, 0)此时对于把a =d, b = 0 带入a*x + b*y = d，显然x = 1，y可以为任意值，
这里y可以为任意值就意味着解会有无数个。我们可以用a = d, b = 0的情况逆推出来
任何gcd(a, b) = d 满足a*x + b*y = d的解。如果x0, y0是b*x + (a%b)*y = d 的解，
那么对于a*x + b*y = d的解呢？
b*x0 + (a%b)*y0 = d => b*x0 + (a - [a/b]*b)*y0 = a*y0 + b*(x0 - [a/b]*y0)，
所以a*x + b*y = d的解x1 = y0， y1 = x0 - [a/b]*y0; 这样我们可以程序迭带了。
*/
int extEuclid( int a,  int b,  int &x,  int &y)
{
     if (b == 0)
    {
        x = 1;
        y = 0;
         return a;
    }
     int d = extEuclid(b, a % b, x, y);
     int iTemp = x;
    x = y;
    y = iTemp - (a / b)* y;
     return d;
}
// 解同余方程ax = b(mod n) (返回最小的正数x)

int modularLinearEquation( int a,  int b,  int n)
{
     // 等价于求ax + cn = b;
     // 先求a*x1 + c1*n = gcd(a, n)
     int x, y, d;
    d = extEuclid(a, n, x, y);
     if (b % d != 0)
        return -1;
    x = x * (b / d);
    x = (( x % n) + n) % n;
     return x;
}

// 中国剩余定理，推导都是数学
int solModularEquations( int b[],  int m[],  int k)
{

     int iTemp;
     int y;
     int result;

     int M = 1;
     for ( int i = 0; i < k; i++)
      M *= m[i];

    result = 0;
     for ( int i = 0; i < k; i++)
    {
      iTemp = M / m[i];
      y = modularLinearEquation(iTemp, 1, m[i]);
      result = (result + b[i] * iTemp * y) % M;
    }
     return result;
}

int main()
{
     int x, y , d;
    d = extEuclid(1001, 767, x, y);
    cout << x << endl;
    cout << y << endl;
    cout << d << endl;
    cout << "1001 * x + 767 * y = " << (1001 * x + 767 * y) << endl;
    cout << modularLinearEquation(3, 2, 100) << endl;
     return 0;
}