混合图的欧拉回路

混合图的欧拉回路

混合图欧拉回路
　　原来混合图欧拉回路用的是网络流。
　　把该图的无向边随便定向，计算每个点的入度和出度。如果有某个点出入度之差为奇数，那么肯定不存在欧拉回路。因为欧拉回路要求每点入度  =  出度，也就是总度数为偶数，存在奇数度点必不能有欧拉回路。
　　好了，现在每个点入度和出度之差均为偶数。那么将这个偶数除以2，得x。也就是说，对于每一个点，只要将x条边改变方向（入 > 出就是变入，出 > 入就是变出），就能保证出  =  入。如果每个点都是出  =  入，那么很明显，该图就存在欧拉回路。
　　现在的问题就变成了：我该改变哪些边，可以让每个点出  =  入？构造网络流模型。首先，有向边是不能改变方向的，要之无用，删。一开始不是把无向边定向了吗？定的是什么向，就把网络构建成什么样，边长容量上限1。另新建s和t。对于入  >  出的点u，连接边(u, t)、容量为x，对于出  >  入的点v，连接边(s, v)，容量为x（注意对不同的点x不同）。之后，察看是否有满流的分配。有就是能有欧拉回路，没有就是没有。欧拉回路是哪个？察看流值分配，将所有流量非0（上限是1，流值不是0就是1）的边反向，就能得到每点入度  =  出度的欧拉图。
　　由于是满流，所以每个入  >  出的点，都有x条边进来，将这些进来的边反向，OK，入  =  出了。对于出  >  入的点亦然。那么，没和s、t连接的点怎么办？和s连接的条件是出  >  入，和t连接的条件是入  >  出，那么这个既没和s也没和t连接的点，自然早在开始就已经满足入  =  出了。那么在网络流过程中，这些点属于“中间点”。我们知道中间点流量不允许有累积的，这样，进去多少就出来多少，反向之后，自然仍保持平衡。
　　所以，就这样，混合图欧拉回路问题，解了。

今天碰到一题是求这的...写下笔记......
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1637