Pku 2417 Discrete Logging

Pku 2417 Discrete Logging

题意：
求最小的离散对数B 使得A^B == C (mod P)  P是质数 或者判无解

做法：

数论题..对于比我大的同学肯定觉得很简单。。
由欧拉定理 A^phi(P) == 1 (mod P) (phi(prime)=prime-1)
得到 A^(B+phi(P)) == c (mod P)   A^(B-Phi(P)) ==c (mod P)
所以可以肯定的一点是 如果 [0,phi(P))内无解 由此式子的周期性必然不会有更多解

一个朴素的想法：枚举 B∈[0,phi(P)) 检验 A^B是否 == C(mod P)
问题又出现了 P是个质数 phi(P)=P-1  必然TLE
所以就必须用空间换时间。

设得到的答案是B  B=X*sqrt(P)+Y 注意到X,Y<=sqrt(P)
列式并化简：

A^(X*sqrt(P)+Y) == C (mod P)
(A*sqrt(P))^X*A^Y == C (mod P)

设 T=A*sqrt(P) 原式即 T^X*A^Y == C (mod P)
两边同除以 A^Y  得到 T^X == C/(A^Y) (mod P)

好吧 到现在 做法就已经浮出水面了

我们预处理T^i (mod P) 最多sqrt(P)个 (i<X)
手写hash或者用map直接存下来二元组 (T^X (mod P),X)

然后枚举 Y∈[0,sqrt(P)) 最多sqrt(P)个
对于每个Y 我们求出 C/(A^Y) (mod P)  然后在hash或者map中查找这个值
如果 (C/(A^Y) (mod P),X) 存在  那么说明 X*sqrt(P)+Y 是可以作为答案的

最后答案便是所有满足条件的 X*sqrt(P)+Y 中的最小值。

如果你不知道 C/(A^Y) (mod P) 怎么求
那就继续看下去吧
C/(A^Y) (mod P) == C*((1/A^Y) mod P)
(1/A^Y) (mod P) == (A^Y)^-1 (mod P)
即 (A^Y)^(phi(P)-1) (mod P)
所以 C/(A^Y) (mod P) 就等于C*(A^Y)^(phi(P)-1) (mod P)

这样就解决了此题。

 1  #include  < cstdio >
 2  #include  < cstring >
 3  #include  < cmath >
 4  #define  Prime 899037
 5  #define  oo 2000000005
 6  #define  min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
 7  int  P,B,N;
 8  int  H[Prime],V[Prime];
 9  inline  int  pow( int  u, int  v)
10  {
11       int  ret = 1 ;
12       for  ( int  tmp = u;v;v >>= 1 ,tmp = (tmp * ( long   long )tmp) % P)
13       if  (v & 1 )    ret = (ret * ( long   long )tmp) % P;
14       return  ret;
15  }
16  inline  void  Hpush( int  u, int  v)
17  {
18       int  t = u % Prime;
19       for  (;H[t];)
20      {
21           if  (H[t] == u)     return ;
22           if  ( ++ t == P)    t -= P;
23      }
24      H[t] = u,V[t] = v;
25  }
26  inline  int  Hpop( int  u)
27  {
28       int  t = u % Prime;
29       for  (;H[t];)
30      {
31           if  (H[t] == u)     return  V[t];
32           if  ( ++ t == P)    t -= P;
33      }
34       return  oo;
35  }
36  int  main()
37  {
38       for  (;scanf( " %d%d%d " , & P, & B, & N) != EOF;)
39      {
40           int  ret = oo + 1 ;
41          memset(H, 0 , sizeof (H));
42          memset(V, - 1 , sizeof (V));
43           int  sqrtP = ( int )sqrt(( double )P),Bsp = pow(B,sqrtP);
44           for  ( int  i = 0 ,val = 1 ;i <= sqrtP; ++ i,val = (val * ( long   long )Bsp) % P)
45              Hpush(val,i);
46           for  ( int  i = 0 ,val = 1 ;i <= sqrtP; ++ i,val = (val * ( long   long )B) % P)
47          {
48               int  h = (N * ( long   long )pow(val,P - 2 )) % P,v = Hpop(h);
49               if  (v < oo && v * sqrtP + i < ret)    ret = v * sqrtP + i;
50          }
51           if  (ret > oo)    puts( " no solution " );
52           else     printf( " %d\n " ,ret);
53      }
54       return   0 ;
55  }
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