线性方程组解的结构的一个例子

原提问出现在http://math.stackexchange.com/questions/163768/is-this-solution-using-gaussian-elimination-or-jordan-gauss

问题：以下用增广阵表示的方程组何时有唯一解，何时没有解，何时有多个解

⎡⎣⎢⎢1342−11−35(a2–14)42(a+2)⎤⎦⎥⎥

解：经过初等行变换，得到矩阵：

⎡⎣⎢⎢100210−3−2(a2–16)410/7(a–4)⎤⎦⎥⎥(1)

1）当系数矩阵的秩小于增广阵的秩时，原方程组没有解，这可以解释为 Ax=b 的系数矩阵A的列空间无法张成向量b，即b和A中的列向量线性无关， rank(A)<rank([A b]) .

所以增广阵( 1 )中第三行的主元(pivot)应该在第四列而非第三列： a2−16=0 并且 a−4≠0 ，得 a=−4

2）根据1)的讨论， a≠−4 时，原方程组有解

2.1)  rank(A)=2

此时  a=4 ，对( 1 )继续做Jordan-Gauss消元，得到增广阵：

⎡⎣⎢⎢1000101−208/710/70⎤⎦⎥⎥(2)

现在说明一下 Ax=b 解的形式： x=x∗+x0 ，其中 x∗ 为 Ax=b 的一个特解， x0 为 Ax=0 的通解。这种解的形式成立的原因是: Ax=A(x∗+x0)=Ax∗+Ax0=b+0=b

2.1.1)求解( 2 )的特解

( 2 )作列分块 [c1 c2 c3 c4] ，其中 c4 可以仅由 c1 和 c2 张成，即 c4=87c1+107c2+0c3

故特解为：

⎡⎣⎢⎢8/710/70⎤⎦⎥⎥

2.1.2)求解( 2 )的通解

( 2 )的通解为特解 [8/7 10/7 0]T 加上( 2 )中 Ax=0 的通解

⎡⎣⎢⎢1000101−20⎤⎦⎥⎥⎡⎣⎢⎢x1x2x3⎤⎦⎥⎥=⎡⎣⎢⎢000⎤⎦⎥⎥(3)

( 3 )的通解是 k∗[−1 2 1]T 。

解释如下，对不满秩的系数矩阵 A ，做矩阵分块：

A=[I0N0](4)

有等式 5 成立：

[I0N0][−NI]=[00] (5)

[−NI]

是解空间基向量构成的矩阵。

综合2.1.1)和2.1.2)有通解

⎡⎣⎢⎢x1x2x3⎤⎦⎥⎥=⎡⎣⎢⎢8/710/70⎤⎦⎥⎥+k⎡⎣⎢⎢−121⎤⎦⎥⎥ (6)

2.2)  rank(A)=3 ，系数矩阵 A 可逆

此时， a≠4 并且 a≠−4 ，对  1 代表的方程求解  x=A−1b ，得到：

⎡⎣⎢⎢x1x2x3⎤⎦⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢8a+257a+2810a+547a+281a+4⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥ (7)