从3DM到PARTITION问题的规约

下面将讲一下NPC问题中，从3DM到PARTITION的规约。

 

首先我们说一下什么是3DM问题和PARTITION问题。

 

1. 3DM的全称为：3-DIMENSIONAL MATCHING(3DM)

 

实例：存在一个集合M⊆W×X×Y，并且W，X，Y为不想交的集合，|W|=|X|=|Y|=q。

问题：是否存在一个集合M'⊆M，使得|M'|=q，并且M'在W，X，Y三维上不存在交集。

 

详见维基百科：http://en.wikipedia.org/wiki/3-dimensional_matching

 

2. PARTITION

 

实例：存在一个有限集合A，以及”size“函数，使得任意a∈A有size(a)∈Z⁺ 。

问题：是否存在A'⊆A，满足：

          a∈A'中size(a)的和=a∈(A-A')中size(a)的和

 

详见维基百科：http://en.wikipedia.org/wiki/Partition_problem

 

现在我们开始从3DM到PARTITION的规约。

 

现在，令|W|=|X|=|Y|=q，M⊆W×X×Y为任意的3DM实例

 

W={w1,w2,...,wq}

X={x1,x2,...,xq}

Y={y1,y2,...,yq}

 

M={m1,m2,...mk}

 

这里，|M|=k。

根据问题，我们必须构造出PARTITION问题中的集合A，以及size函数size(a)∈Z⁺ 并且满足PARTITION问题的约束：

          a∈A'中size(a)的和=a∈(A-A')中size(a)的和

 

我们令集合A包含两部分的元素，它们为{a1,a2,...,ak}U{B}

现在，我们由3DM问题来构造我们的元素a1~ak，首先看下图：

每一个ai具有如上图的结构，我们使用2进制编码来构造ai，每一个ai与3DM问题中的mi相对应，假设mi=(w_f(i) ,x_g(i) ,y_h(i) )，f()，g()，h()分别为对应W，X，Y集合的转换函数。从上图还可以看出每一个W，X，Y均由q个”区域“组成，并且每个区域中含有p位，这里p是什么呢？p是由3DM中的k构造出来的，p等于log₂ ^(k+1) 向上取整，为什么要这样构造呢？其实是有原因的，这里留下悬念，一会儿会讲到。当我们在mi中给定w_f(i) ,x_g(i) ,y_h(i) 之后我们通过将W，X，Y对应”区域“的p位中的最右一位置为1来为ai进行赋值，其余位均置为0。这样size(ai)就可以通过二进制编码来算出其十进制的值来了，为：

 

 

现在除了PARTITION问题中的b元素之外，其它元素都以构造完成，下面我们先来给出B是什么，B等于

 

现在由3DM构造的PARTITION问题已经完成，明显可以看出，我们可以再P时间内，完成由3DM到PARTITION问题的规约。

 

现在我们来看看这个构造是如何work的。

 

当我们有了一个3DM的solution之后，一定能对应PARTITION问题的solution。反之，当我们有了一个PARTITION问题的solution之后也一定能够找到一个3DM的solution。

这个主要是由我们刚才留下的悬念来保证的。

因为，我们每一维（dimension）上最多只有k个元素，而p=log₂ ^(k+1) ，因此，假如我们在某一位上有重叠也不会上溢到其它的”区域“，这保证了我们能够回得去。我们能够过得来是由于B的值根本上就是由我们的构造的出的，也一定能够过得来。

 

这一点大家可以好好思考一下， 看看是不是这么回事。

 

由于能力有限，我的理解也就到这种地步了。如果谁有好的建议，希望多提意见，大家共同进步！

谢谢！

 

深蓝

2011年4月9日

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