华为机试—寻找丑数（由浅入深优化至20ms）

题目描述：

把只包含因子2、3和5的数称作丑数（Ugly Number）。例如6、8都是丑数，但14不是，因为它包含因子7。
习惯上我们把1当做是第一个丑数。求按从小到大的顺序的第N个丑数。

输入：

输入包括一个整数N(1<=N<=1500)。

输出：

可能有多组测试数据，对于每组数据，
输出第N个丑数。

样例输入：

3

样例输出：

3

所谓一个数m是另一个数n的因子，是指n能被m整除，也就是n % m == 0。根据丑数的定义，丑数只能被2、3和5整除。也就是说如果一个数如果它能被2整除，我们把它连续除以2；如果能被3整除，就连续除以3；如果能被5整除，就除以连续5。如果最后我们得到的是1，那么这个数就是丑数，否则不是。

基于前面的分析，我们可以写出如下的函数来判断一个数是不是丑数：

bool IsUgly(int number)
{
	while(number % 2 == 0)
        number /= 2;
    while(number % 3 == 0)
        number /= 3;
    while(number % 5 == 0)
        number /= 5;
    return (number == 1) ? true : false;
}

    接下来，我们只需要按顺序判断每一个整数是不是丑数，即：

int GetUglyNumber(int index)
{
	if(index <= 0)
        return 0;
    int number = 0;
    int uglyFound = 0;
    
	while(uglyFound < index)
    {
		++number;
        if(IsUgly(number))
			++uglyFound;

	}
	return number;
}

我们只需要在函数GetUglyNumber中传入参数1500，就能得到第1500个丑数。该算法非常直观，代码也非常简洁，但最大的问题我们每个整数都需要计算。即使一个数字不是丑数，我们还是需要对它做求余数和除法操作。因此该算法的时间效率不是很高。

接下来我们换一种思路来分析这个问题，试图只计算丑数，而不在非丑数的整数上花费时间。根据丑数的定义，丑数应该是另一个丑数乘以2、3或者5的结果（1除外）。因此我们可以创建一个数组，里面的数字是排好序的丑数。里面的每一个丑数是前面的丑数乘以2、3或者5得到的。

这种思路的关键在于怎样确保数组里面的丑数是排好序的。我们假设数组中已经有若干个丑数，排好序后存在数组中。我们把现有的最大丑数记做M。现在我们来生成下一个丑数，该丑数肯定是前面某一个丑数乘以2、3或者5的结果。我们首先考虑把已有的每个丑数乘以2。在乘以2的时候，能得到若干个结果小于或等于M的。由于我们是按照顺序生成的，小于或者等于M肯定已经在数组中了，我们不需再次考虑；我们还会得到若干个大于M的结果，但我们只需要第一个大于M的结果，因为我们希望丑数是按从小到大顺序生成的，其他更大的结果我们以后再说。我们把得到的第一个乘以2后大于M的结果，记为M2。同样我们把已有的每一个丑数乘以3和5，能得到第一个大于M的结果M3和M5。那么下一个丑数应该是M2、M3和M5三个数的最小者。

前面我们分析的时候，提到把已有的每个丑数分别都乘以2、3和5，事实上是不需要的，因为已有的丑数是按顺序存在数组中的。对乘以2而言，肯定存在某一个丑数T2，排在它之前的每一个丑数乘以2得到的结果都会小于已有最大的丑数，在它之后的每一个丑数乘以2得到的结果都会太大。我们只需要记下这个丑数的位置，同时每次生成新的丑数的时候，去更新这个T2。对乘以3和5而言，存在着同样的T3和T5。

有了这些分析，我们不难写出如下的代码：

int pUglyNumbers[1501];
int GetUglyNumber(int index)
{
	if(index <= 0)
        return 0;

    pUglyNumbers[0] = 1;

    int nextUglyIndex = 1;

    int index2 = 0;
    int index3 = 0;
    int index5 = 0;

    while(nextUglyIndex < index)
	{
		int min = Min(pUglyNumbers[index2] * 2, pUglyNumbers[index3] * 3, pUglyNumbers[index5] * 5);
        pUglyNumbers[nextUglyIndex] = min;

		while(pUglyNumbers[index2] * 2 <= pUglyNumbers[nextUglyIndex])
			++index2;
        while(pUglyNumbers[index3] * 3 <= pUglyNumbers[nextUglyIndex])
            ++index3;
        while(pUglyNumbers[index5] * 5 <= pUglyNumbers[nextUglyIndex])
            ++index5;
        
		++nextUglyIndex;
    }

    int ugly = pUglyNumbers[nextUglyIndex - 1];

    return ugly;
}

     和第一种思路相比，这种算法不需要在非丑数的整数上做任何计算，因此时间复杂度要低很多。当然我们也要指出，第二种算法由于要保存已经生成的丑数，因此需要一个数组，从而需要额外的内存。第一种算法是没有这样的内存开销的。

完整的代码如下：

优化前：

#include <stdio.h>

bool IsUgly(int number)
{
	while(number % 2 == 0)
        number /= 2;
    while(number % 3 == 0)
        number /= 3;
    while(number % 5 == 0)
        number /= 5;
    return (number == 1) ? true : false;
}

int GetUglyNumbe(int index)
{
	if(index <= 0)
        return 0;
    int number = 0;
    int uglyFound = 0;
    
	while(uglyFound < index)
    {
		++number;
        if(IsUgly(number))
			++uglyFound;

	}
	return number;
}

void main()
{
	int n;
	while(~scanf("%d",&n))
		printf("%d\n",GetUglyNumbe(n));

	printf("\n");
}

   优化后：

#include <stdio.h>

int pUglyNumbers[1501];

int Min(int number1, int number2, int number3)
{
	int min = (number1 < number2) ? number1 : number2;
    min = (min < number3) ? min : number3;
    return min;
}

int GetUglyNumber(int index)
{
	if(index <= 0)
        return 0;

    pUglyNumbers[0] = 1;

    int nextUglyIndex = 1;

    int index2 = 0;
    int index3 = 0;
    int index5 = 0;

    while(nextUglyIndex < index)
	{
		int min = Min(pUglyNumbers[index2] * 2, pUglyNumbers[index3] * 3, pUglyNumbers[index5] * 5);
        pUglyNumbers[nextUglyIndex] = min;

		while(pUglyNumbers[index2] * 2 <= pUglyNumbers[nextUglyIndex])
			++index2;
        while(pUglyNumbers[index3] * 3 <= pUglyNumbers[nextUglyIndex])
            ++index3;
        while(pUglyNumbers[index5] * 5 <= pUglyNumbers[nextUglyIndex])
            ++index5;
        
		++nextUglyIndex;
    }

    int ugly = pUglyNumbers[nextUglyIndex - 1];

    return ugly;
}

int main()
{
	int n;
	while(~scanf("%d",&n))
		printf("%d\n",GetUglyNumber(n));

	return 0;

}

测试结果：