并查集
恩，前两周学习了并查集，是时候总结一下了。
等价关系与等价类
从数学上看，等价类是一个对象(或成员)的集合，在此集合中的所有对象应满足等价关系。若用符号"≡"表示集合上的等价关系，那么对于该集合中的任意对象x,y, z，下列性质成立：
1、自反性：x ≡ x
2、对称性：若 x ≡ y 则 y ≡ x
3、传递性：若 x ≡ y 且 y ≡ z 则 x ≡ z
因此，等价关系是集合上的一个自反、对称、传递的关系。
通过金属线连接起来的电器的连通性，就是一种等价关系。这种关系显然具有自反性，因为任何一个器件都是与自身连通的；如果a 电连通b，那么b一定也电连通a，因此这种关系具有对称性； 若a连通到b，并且b连通到c，那么a连通到c 。
并查集
并查集的一般用途就是用来维护某种具有自反、对称、传递性质的关系的等价类。并查集一般以树形结构存储，多棵树构成一个森林，每棵树构成一个集合，树中的每个节点就是该集合的元素，找一个代表元素作为该树(集合)的祖先。
并查集支持以下三种操作：
1、Make_Set(x) 把每一个元素初始化为一个集合
初始化后每一个元素的父亲节点是它本身，每一个元素的祖先节点也是它本身。
int father[1200],rank[1200],sum;
void makeset()
{
int i;
for(i=0; i<1200; i++)
{
father[i]=i;
rank[i]=1;
}
}
2、Find_Set(x) 查找一个元素所在的集合
查找一个元素所在的集合，只要找到这个元素所在集合的祖先即可。判断两个元素是否属于同一集合，只要看他们所在集合的祖先是否相同即可。
int find(int x)
{
return father[x] != x ? father[x]=find(father[x]) : x;//状态压缩、
}
3、Union(x,y) 合并x,y所在的两个集合
合并两个不相交集合操作很简单：首先设置一个数组Father[x]，表示x的"父亲"的编号。那么，合并两个不相交集合的方法就是，找到其中一个集合的祖先，将另外一个集合的祖先指向它。
void Union(int x,int y)
{
x=find(x);
y=find(y);
if(x==y)
return;
if(rank[x]>rank[y])
{
father[y]=x;
rank[x]+=rank[y];
}
else
{
father[x]=y;
rank[y]+=rank[x];
}
}
并查集的优化
1、find(x)时 路径压缩
寻找祖先时我们一般采用递归查找，但是当元素很多亦或是整棵树变为一条链时，每次Find_Set(x)都是O(n)的复杂度，有没有办法减小这个复杂度呢？
答案是肯定的，这就是路径压缩，即当我们经过"递推"找到祖先节点后，"回归"的时候顺便将它的子孙节点都直接指向祖先，这样以后再次Find_Set(x)时复杂度就变成O(1)了。
2、Union(x,y)时 按秩合并
即合并的时候将元素少的集合合并到元素多的集合中，这样合并之后树的高度会相对较小。
一道并查集的模板题目：NYOJ608畅通工程
畅通工程
- 描述
-
某省调查城镇交通状况，得到现有城镇道路统计表，表中列出了每条道路直接连通的城镇。省政府“畅通工程”的目标是使全省任何两个城镇间都可以实现交通（但不一定有直接的道路相连，只要互相间接通过道路可达即可）。问最少还需要建设多少条道路？
- 输入
-
测试输入包含若干测试用例。每个测试用例的第1行给出两个正整数，分别是城镇数目N ( < 1000 )和道路数目M；随后的M行对应M条道路，每行给出一对正整数，分别是该条道路直接连通的两个城镇的编号。为简单起见，城镇从1到N编号。
注意:两个城市之间可以有多条道路相通,也就是说
3 3
1 2
1 2
2 1
这种输入也是合法的
当N为0时，输入结束，该用例不被处理。 - 输出
- 对每个测试用例，在1行里输出最少还需要建设的道路数目。
- 样例输入
-
4 2 1 3 4 3 3 3 1 2 1 3 2 3 5 2 1 2 3 5 999 0 0
- 样例输出
-
1 0 2 998
#include <cstdio>
int father[1200],runk[1200];
void makeset() //初始化
{
for(int i=0;i<1200;i++){
father[i]=i;runk[i]=1;
}
}
int find(int x) //查找+状态压缩
{
return father[x] != x ? father[x]=find(father[x]) : x;//状态压缩、
}
int Union(int x,int y,int ans) //合并
{
x=find(x);
y=find(y);
if(x==y)
return ans;
else if(runk[x]>runk[y])
{
father[y]=x;
runk[x]+=runk[y];
ans++;
}
else{
father[x]=y;
runk[y]+=runk[x];
ans++;
}
return ans;
}
int main()
{
int num_town,num_road,a,b;
while(~scanf("%d",&num_town)&&num_town)
{
scanf("%d",&num_road);
int ans=0;
makeset();
while(num_road--)
{
scanf("%d%d",&a,&b);
ans=Union(a,b,ans);
}
printf("%d\n",num_town-1-ans);
}
return 0;
}