泰勒级数定义及相关展开式

泰勒级数的定义:

若函数f(x)在点泰勒级数、欧拉公式、三角函数 - sweet - 有梦想 就有希望的某一临域内具有直到(n+1)阶导数,则在该邻域内f(x)的n阶泰勒公式为:

泰勒级数、欧拉公式、三角函数 - sweet - 有梦想 就有希望

其中:泰勒级数、欧拉公式、三角函数 - sweet - 有梦想 就有希望,称为拉格朗日余项。

以上函数展开式称为泰勒级数。

泰勒级数在幂级数展开中的作用:

在泰勒公式中,取泰勒级数、欧拉公式、三角函数 - sweet - 有梦想 就有希望,得:

泰勒级数、欧拉公式、三角函数 - sweet - 有梦想 就有希望

这个级数称为麦克劳林级数。函数f(x)的麦克劳林级数是x的幂级数,那么这种展开是唯一的,且必然与f(x)的麦克劳林级数一致。

注意:如果f(x)的麦克劳林级数在点泰勒级数、欧拉公式、三角函数 - sweet - 有梦想 就有希望的某一临域内收敛,它不一定收敛于f(x)。因此,如果f(x)在泰勒级数、欧拉公式、三角函数 - sweet - 有梦想 就有希望处有各阶导数,则f(x)的麦克劳林级数虽然能做出来,但这个级数能否在某个区域内收敛,以及是否收敛于f(x)都需要进一步验证。

 

几个重要的泰勒级数。参数x 为复数时它们依然成立。

  • 指数函数和自然对数:
  • 几何级数:
  • 二项式定理:
  • 三角函数:
  • 双曲函数:
  • 朗伯W函数:

 

二项式展开中的C(α,n)是二项式系数。

tan(x)和tanh(x)展开式中的Bk是伯努利数。

sec(x)展开式中的Ek是欧拉数。

 

复平面上的一个单位圆上的点,与实轴夹角为θ时,此点可表示为

e是自然对数的底,此式称为欧拉(Euler)公式。e可以用计算方法定义为

欧拉公式与三角函数的关系 

由泰勒级数展开

 

转自:http://blog.163.com/xiangyuan_122/blog/static/280073612009112810632928/

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