Wallis公式及其应用
今天我要讲的主要内容是什么是Wallis公式，以及它的推导过程。然后讲述Wallis公式的两个重要应用，即推导
Stirling公式和求解Euler-Poisson积分。一次在一个机器学习群里面看到讨论这个公式，借此机会总结一下。
Contens
1. 什么是Wallis公式
2. Wallis公式的推导过程
3. 利用Wallis公式推导Stirling公式
4. 利用Wallis公式求解Euler-Poisson积分
1. 什么是Wallis公式
Wallis公式是关于圆周率的无穷乘积的公式，公式内容如下
其中
，开方后还可以写成
2. Wallis公式的推导过程
Wallis公式的推导采用对
在区间
内的积分完成，令
用部分积分法得到如下推导过程
进一步得到
所以继续得到
所以最终得到
由
的单调性可知
即得到
由两边夹挤准则得到
这样就推导出了Wallis公式。
3. 利用Wallis公式推导Stirling公式
斯特林公式如下
接下来利用Wallis公式来推导斯特林公式。
借助函数
的图像面积，通常有三种求法，分别是积分法，内接梯形分割法，外切梯形分割法。实
际上最准确的是第一种，后面两种都有一定误差。
对于积分法求面积有
对于内接梯形分割法有
很容易知道
，令
，很容易证明
为有界递增序列，则
接下来令
，则
有极限，设
则根据Wallis公式得到
进一步化简得到
所以最终得到
带入原式得到斯特林公式
4. 利用Wallis公式求解Euler-Poisson积分
在上面，我通过Wallis公式完美地推导了斯特林公式，接下来继续看Wallis公式的另一个应用，即求解
Euler-Poisson积分。
Euler-Poisson积分是无限区间
上的非正常积分
它在概率论等数学分支以及其它自然科学中都有重要应用，由于它的被积函数的原函数不能用初等函数表示，
因此不能用牛顿-莱布尼兹公式求它的值。现在我就用上面学到的Wallis公式来求解。
借助函数
在
时取得最大值1，因此对于任何
，都有
，从
而得到
和
，所以
对任意自然数
都有
由于
那么，我们又知道
即得到不等式为
同时取平方后得到
由Wallis公式可以推出，在
的情况下，两边都是以
为极限，由两边夹挤准则得到
