单调队列——广告印刷

【问题描述】
最近，afy决定给TOJ印刷广告，广告牌是刷在城市的建筑物上的，城市里有紧靠着的N个建筑。
afy决定在上面找一块尽可能大的矩形放置广告牌。我们假设每个建筑物都有一个高度，
从左到右给出每个建筑物的高度H1,H2…HN，且0<Hi<=1,000,000,000，并且我们假设每个建筑物的宽度均为1。

要求输出广告牌的最大面积。

【输入文件】
输入文件 ad.in 中的第一行是一个数n (n<= 400,000)
第二行是n个数，分别表示每个建筑物高度H1,H2…HN，且0<Hi<=1,000,000,000。
【输出文件】
输出文件 ad.out 中一共有一行，表示广告牌的最大面积。
【输入样例】
6
5 8 4 4 8 4
【输出样例】

24

思路：

容易想到，要想使面积最大，肯定要将当前广告覆盖的楼房中，高度最小的那个楼房全部印刷上广告。所以，枚举每个建筑物的高度作为广告矩形的高度，求出在该楼房的左侧，有多少栋连续的楼房的高度大于或等于该楼房的高度，右侧同理。然后得到矩形广告的面积，找出最大面积即可。

枚举法，时间复杂度为O(n^2)：

int MaxRectArea(void)
{
	int maxArea = 0;
	int i, j;
	for (i = 0; i < n; i++)
	{
		int count = 1;
		//统计在当前建筑物i的左边，与h[i]相同或更高的建筑物有多少
		for (j = i-1; j >= 0 && h[j] >= h[i]; j--)
		{
			count++;
		}
		//右边同理
		for (j = i+1; j < n && h[j] >= h[i]; j++)
		{
			count++;
		}
		int area = count * h[i];
		if (area > maxArea)
		{
			maxArea = area;
		}
	}
	return maxArea;
}

使用单调队列优化，时间复杂度为O(n)：

在这里约定，以当前建筑物为矩形高度，向两侧寻找可以印刷的建筑的过程叫做——扩展。

我们来考察从第i个建筑向左扩展的情况，h数组为建筑物高度，下标为1~n：

如果我们知道，向左扩展到极限时的建筑物的下标为j的话，这时，建筑物j是第一个满足h[j]<h[i]的建筑。那么，第i个建筑物向左扩展的建筑物数量为i-j-1。

如果，对h从左向右建立一个单调递增队列mq，h数组的下标为队列元素，在新的建筑物i要入队时，将队尾所有高度大于等于h[i]的元素都出队，新的队尾mq[rear-1]（rear指向队尾的下一个位置）刚好是上面所讲的向左扩展的极限下标j，因为入队顺序是从左向右的，而且在极限下标j与当前建筑下标i之间的这些建筑，因为高度大于等于h[i]，所有都出队了，mq[rear-1]就刚好是极限下标j。

向右侧扩展是同样的道理，只需要对h从右向左建立一个单调递增队列即可。

为了简化操作，将h[0]和h[n+1]的值都赋为-1。

下面举一个向左侧扩展的例子：

 

H[]存储建筑物高度，L[]记录向左扩展建筑数量，蓝色代表该建筑已经计算过，红色代表刚刚计算过的建筑物。

下标	0	1	2	3	4
H[]	-1	9	5	5	-1
L[]

单调递增队列，front和rear分别为队首和队尾指针，rear指向队尾的下一个位置，初始时让0号建筑入队

指针	Front	Rear
队列元素	0

 

1号建筑入队，队尾没有比1号建筑更高的建筑，直接入队，L[1]= 1 - mq[rear-1] - 1，结果如下：

下标	0	1	2	3	4
H[]	-1	9	5	5	-1
L[]		0

 

指针	Front		Rear
队列元素	0	1

 

2号建筑入队，队尾元素为1号建筑，高度为9，比2号建筑高，所以出队，新的队尾元素为0号，计算L[2] = 2 –mq[rear-1] – 1，然后2号建筑入队尾，结果如下

下标	0	1	2	3	4
H[]	-1	9	5	5	-1
L[]		0	1

 

指针	Front		Rear
队列元素	0	2

 

 

3号建筑入队，队尾元素为2号建筑，高度为5，与3号建筑一样高，所以出队，新的队尾元素为0号，计算L[3] = 3 –mq[rear-1] – 1，然后3号建筑入队尾，结果如下：

下标	0	1	2	3	4
H[]	-1	9	5	5	-1
L[]		0	1	2

 

指针	Front		Rear
队列元素	0	3

 

 

最终结果：

下标	0	1	2	3	4
H[]	-1	9	5	5	-1
L[]		0	1	2

代码：

#include <iostream.h>

#define MAXN 1000000

int h[MAXN+5];		//建筑物的高度
int n;				//建筑物的数目

int mq[MAXN+5];		//单调队列，对内元素为建筑物高度的下标
int left[MAXN+5];	//left[i]：在第i个建筑物左侧，不比它的高度小的建筑物数量
int right[MAXN+5];	//right[i]：在第i个建筑物右侧，不比它的高度小的建筑物数量

void CalcLeft(void)
{
	mq[0] = 0;
	int front = 0, rear = 1;
	
	int i;
	for (i = 1; i <= n; i++)
	{
		while (front < rear && h[i] <= h[mq[rear-1]])
		{
			rear--;
		}
		left[i] = i - mq[rear-1] - 1;
		mq[rear++] = i;
	}
}

void CalcRight(void)
{
	mq[0] = n + 1;
	int front = 0, rear = 1;

	int i;
	for (i = n; i >= 1; i--)
	{
		while (front < rear && h[i] <= h[mq[rear-1]])
		{
			rear--;
		}
		right[i] = mq[rear-1] - i - 1;
		mq[rear++] = i;
	}
}

int MaxRectArea(void)
{
	int maxArea = -1;
	int i;
	for (i = 1; i <= n; i++)
	{
		int area = (left[i] + right[i] + 1) * h[i];
		if (area > maxArea)
		{
			maxArea = area;
		}
	}
	return maxArea;
}

int main(void)
{
	while (cin >> n)
	{
		int i;
		for (i = 1; i <= n; i++)
		{
			cin >> h[i];
		}

		h[0] = h[n+1] = -1;
		CalcLeft();
		CalcRight();

		for (i = 1; i <= n; i++)
		{
			cout << left[i] << ' ';
		}
		cout << endl;
		for (i = 1; i <= n; i++)
		{
			cout << right[i] << ' ';
		}
		cout << endl;

		cout << MaxRectArea() << endl;
	}
	return 0;
}

/*
6
5 8 4 4 8 4
6
9 5 8 2 8 8
6
9 6 8 2 8 8
*/