如何求500万以内的所有亲和数

  
  
  
  

   
   
   
   求500万以内的所有亲和数
  
  
  
  
	如果两个不同的数a和b，a的所有真因数之和等于b,b的所有真因数之和等于a,则称a,b是一对亲和数。例如220和284，1184和1210，2620和2924。编程实现。
 想一想这个问题，首先你要弄清楚，什么是亲和数，什么是真因子。除了本身之外的都是所以因子都是真因子，包括1。那亲和数就好比这两个数所有真因子之和等于对方，这俩是一对，亲和数。
 举例：220的真因子是：1、2、4、5、10、11、20、22、44、55、110；
	      284的真因子是：1、2、4、71、142。
 而这两个数恰恰等于对方的真因子各自加起来的和（sum[i]表示数i 的各个真因子的和），即220=1+2+4+71+142=sum[284],284=1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=sum[220]。
 即284的真因子之和sum[284]=220,AND 220的真因子之和sum[220]=284，即有sum[220]=sum[sum[284]]=284。
 有点意思，你看出来什么了吗？也就是说如果sum[sum[i]]=i，那sum[i]和i是一对亲和数。接下来的问题是如何求得sum[i]，这才是重点。那就要求每一个数的真因子，运算量挺大的吧。来编码试试吧，应该不是很难。

int main()
{
	int sum[M+10]={0};  //防止溢出
	for(int i=1;i<=M;i++)
	{
		for(int j=1;j<=i/2;j++)  //最大的真因数是不超过它的一半的
			if(i%j==0)
				sum[i]+=j;
	}
	for(i=1;i<=M;i++)
	{
		if((sum[i]>i)&&(sum[i]<M)&&(i==sum[sum[i]])) //两个亲和数只输出一次，而													//且sum[i]不能超过M。
			cout<<i<<"  "<<sum[i]<<endl;
	}
	return 0;
}

 时间复杂度T（n）=O(n^2)  500W估计要算很久很久吧，而且500W的int类型数组，一般的PC估计运行不了。。
 有没有什么好办法可以解决这个问题？有O(nlgn)或O(n)的算法吗？其实重点是求真因子之和，输出亲和数只是需要一次遍历即可。有什么好办法可以改进这部分代码的时间复杂度吗？空间换时间？太搞笑了，这空间都负担不起了。。
 OK,再想一想  我们没有必要遍历所有的可能因子1--i/2。我们可以简化它，比如对于10这个数，从1开始到5，用10%1=0，10%2=0，10%3=1，10%4=2，10%5=0，所以sum[10]=1+2+5=8；可是我们完全可以这样来做：对于1，它是1x的因子，对于2，它是2x的因子，对于3，它是3x的因子，对于4，它是4x的因子，对于5，它是5x的因子，当然不包括本身。所以我们求sum[i]不要一个一个的求，那样必须要遍历1--i/2，还要判断。如果我们按因子来求sum[i]，我们得到的是持续相加的过程。
 所以 对于1，是2-10的真因子因子。对于2，是4  6  8 10 的因子（2是其本身）；对于3，是 6  9的真因子，对于4，是8的真因子。对于5，是10的真因子。也就是
 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10
 0  1  1  1  1  1  1  1  1   1
         2     2     2      2
                     3        3 
                         4
                                5
 时间复杂度是T(n)=(n/1+n/2+n/3..+n/(n/2))=n(1+1/2+1/3+..+1/(n/2))=O(nlgn)  【1+1/2+1/3+..+1/n=ln(n)+c  调和级数】
 编码实现之：

int main()
{
	int sum[M+10]={0};   //防止溢出	
	for(int j=1;j<=M/2;j++) 
	{		//真因子不包括其本身，所以从2倍j开始求sum[k]，j是因子。
		for(int k=2*j;k<=M;k+=j)  //sum[1]=0!=1 所以不用求
			sum[k]+=j;    //间隔求和
	}
	for(int i=2;i<=M;i++) //从第二项开始，不能说知道了最小220，就从220开始。
	{
		if((sum[i]>i)&&(sum[i]<M)&&(i==sum[sum[i]]))										cout<<i<<"  "<<sum[i]<<endl;
　　//两个亲和数只输出一次，而且sum[i]不能超过M，大于了肯定构不成亲和数		//而且会溢出

	}
	return 0;
}

 时间复杂度是T(n)=O(nlgn)，很nice的算法。
这样就搞定了！
这种方法也可以解决完数，素数。。

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