强大的C# Expression在一个函数求导问题中的简单运用
号称面试的题目总是非常有趣的，这里是又一个例子：
【原题出处】
http://topic.csdn.net/u/20110928/15/B00A34FE-8544-42E2-A771-3C4A888DB85A.html
【问题梗概】
求一个函数的一阶导数。
【代码方案】
namespace Derivative
{
class Program
{
// 求一个节点表达的算式的导函数
static Expression GetDerivative(Expression node)
{
if (node.NodeType == ExpressionType.Add
|| node.NodeType == ExpressionType.Subtract)
{ // 该节点在做加减法，套用加减法导数公式
BinaryExpression binexp = (BinaryExpression)node;
Expression dleft = GetDerivative(binexp.Left);
Expression dright = GetDerivative(binexp.Right);
BinaryExpression resbinexp;
if (node.NodeType == ExpressionType.Add)
resbinexp = Expression.Add(dleft, dright);
else
resbinexp = Expression.Subtract(dleft, dright);
return resbinexp;
}
else if (node.NodeType == ExpressionType.Multiply)
{ // 该节点在做乘法，套用乘法导数公式
BinaryExpression binexp = (BinaryExpression)node;
Expression left = binexp.Left;
Expression right = binexp.Right;
Expression dleft = GetDerivative(left);
Expression dright = GetDerivative(right);
return Expression.Add(Expression.Multiply(dleft, right),
Expression.Multiply(left, dright));
}
else if (node.NodeType == ExpressionType.Parameter)
{ // 该节点是x本身（叶子节点），故而其导数即常数1
return Expression.Constant(1.0);
}
else if (node.NodeType == ExpressionType.Constant)
{ // 该节点是一个常数（叶子节点），故其导数为零
return Expression.Constant(0.0);
}
else if (node.NodeType == ExpressionType.Call)
{
MethodCallExpression callexp = (MethodCallExpression)node;
Expression arg0 = callexp.Arguments[0];
// 一下一元函数求导后均需要乘上自变量的导数
Expression darg0 = GetDerivative(arg0);
if (callexp.Method.Name == "Exp")
{
// 指数函数的导数还是其本身
return Expression.Multiply(
Expression.Call(null, callexp.Method, arg0), darg0);
}
else if (callexp.Method.Name == "Sin")
{
// 正弦函数的倒数是余弦函数
MethodInfo miCos = typeof(Math).GetMethod("Cos",
BindingFlags.Public | BindingFlags.Static);
return Expression.Multiply(
Expression.Call(null, miCos, arg0), darg0);
}
else if (callexp.Method.Name == "Cos")
{
// 余弦函数的导数是正弦函数的相反数
MethodInfo miSin = typeof(Math).GetMethod("Sin",
BindingFlags.Public | BindingFlags.Static);
return Expression.Multiply(
Expression.Negate(Expression.Call(null, miSin, arg0)), darg0);
}
}
throw new NotImplementedException(); // 其余的尚未实现
}
static Func<double, double> GetDerivative(Expression<Func<double, double>> func)
{
// 从Lambda表达式中获得函数体
Expression resBody = GetDerivative(func.Body);
// 需要续用Lambda表达式的自变量
ParameterExpression parX = func.Parameters[0];
Expression<Func<double, double>> resFunc
= (Expression<Func<double, double>>)Expression.Lambda(resBody, parX);
Console.WriteLine("diff function = {0}", resFunc);
// 编译成CLR的IL表达的函数
return resFunc.Compile();
}
static double GetDerivative(Expression<Func<double, double>> func, double x)
{
Func<double, double> diff = GetDerivative(func);
return diff(x);
}
static void Main(string[] args)
{
// 举例：求出函数f(x) = cos(x*x)+sin(3*x)+exp(2*x)在x=2.0处的导数
double y = GetDerivative(x => Math.Cos(x*x) + Math.Sin(3*x) + Math.Exp(2*x), 2.0);
Console.WriteLine("f'(x) = {0}", y);
}
}
}
【实现大意】
用表达式分解并递归求导（过程是相当容易的，比想象的还容易）。目前只是实现了一个最简单的模型。
【优势】
给出的是解析解，在求导运算方面没有任何数值解的误差，输出运算也是瞬时的，时间复杂度仅和表达式复杂度相关。
【限制】
1. 函数只能以Lambda表达式输入，只能是能求出解析解的表达式
2. 目前只实现了加减法和乘法
【后续扩展】
1. 实现其他运算符（没有太大难度，只是比较繁琐而已）
2. 表达式树优化（也不太难的，根据情况定），最基本的可以从常数乘法开始……
3. 条件运算符的处理（这个会变得极难极复杂，但一定程度上实现分段函数求导），其他特殊情况（对求导还可以，如果考虑求不定积分问题可能会有很多特殊情况和hardcode）
4. 输入端向字符串解析过渡；复杂运算符->逐渐向自定义的数据结构过渡？……
...
【更新】
20110611: 添加三角和指数函数支持，优化仍未进行。