概率图模型（PGM）里的有向分离（D-separation）

有向分离（Directed Separation）是图论中的概念，在PGM中也有着重要的作用。

D-separation和前一篇博文PGM中的条件独立（Conditional Independent）有很大的联系。

回顾：

1. 顺连结构：x—>z—>y，x和y关于z条件独立。
2. 分连结构：x<—z—>y，x和y关于Z条件独立。
3. 汇连结构：x—>z<—y，x和y边缘独立。若已知结果z反而可能不独立。

相关概念：

阻塞（Block）：

设X，Y，Z分别是一个有向无环图（Directed Acyclic Graph）G里互没有交集的节点集（set），Z阻塞X中的任一个节点到Y中的任一个节点的通路（Z blocks every paths from a node in X to a node in Y），当且仅当节点集Z满足如下条件：

1. 如果G中有顺连结构x—>z—>y或分连结构x<—z—>y，则节点z包含在集合Z中；
2. 如果G中有汇连结构x—>z<—y，则节点z及其后裔节点（descendants）一定不包含在集合Z中。

有向分离（D-separation）：

如果集合Z阻塞X到Y中的任何一条通路（path），则称在这个DAG里，集合Z有向分离X和Y。也称Z 为X和Y的切割集。

如果一个路径不是有向分离的，则称其为有向连接的（D-connected）。

总结：

整体markov性：

前面一篇在条件独立的基础上介绍了局部markov性。和局部markov性一样，整体markov性也和条件独立有关，正如字面含义一样，从整个DAG来讲它比局部markov性更广泛地概括了独立的概念，具体如下：

设X和Y是DAG中的两个节点变量集，Z是G中不包含X和Y的节点集合，如果Z有向分离（D-separate）X和Y，则X和Y在给定Z时条件独立，。否则，称在给定集合Z下集合X和Y依赖。

条件独立是概率论中的概念，有向分离是图论中的概念，局部markov性和整体markov性将两个概念融为一体，揭示了图论和概率论之间的联系。