算法导论第15章习题15.3-3最大矩阵链乘法

15.3-3思路供参考：确定一个问题是否具有最优子结构要考虑两个方面的问题：1、子问题是否是独立。2、子问题是否是重叠
先分析第一个问题：最大矩阵链乘法子问题是将矩阵链分为两部分，求前一部和后一部分最大值，然后合并，而这两个子问题的 最大值是在两个矩阵链中分别求解，所以这两个子问题没有重复（在这里最鲜明的对照就是无权图中最长简单路径问题，该问题如果分为两个子问题，前一部分的最长路径可能包含后一部分的最长路径，两个子问题合并之后的路径就不是简单路径了）。再看子问题是否重叠，如果子问题中的子问题是一个跟子问题不一样的问题则为不重叠，如果将子问题的矩阵链分解为两个孙矩阵链，同样是求两个孙矩阵链各自的最大值然后合并，该孙子问题与子问题相同，即为重叠，所以最大矩阵链乘法具有最优子结构。

代码如下：

#include<iostream>
using namespace std;
//p为矩阵链，p[0],p[1]代表第一个矩阵，p[1],p[2]代表第二个矩阵，length为p的长度
//所以如果有六个矩阵，length=7，m为存储最优结果的二维矩阵，t为存储选择最优结果路线的
//二维矩阵
void MatrixChainOrder(int *p,int (*m)[10],int (*t)[10],int length)
{
	int n=length-1;
	int i,j,k,q,num=0;
	//A[i][i]只有一个矩阵，所以相乘次数为0，即m[i][i]=0;
	for(i=1;i<length;i++)
	{
		m[i][i]=0;
	}
	//i代表矩阵链的长度，i=2表示有两个矩阵相乘时如何划分
	for(i=2;i<=n;i++)
	{
		//j表示从第j个矩阵开始的i个矩阵如何划分是最优
		for(j=1;j<=n-i+1;j++)
		{
			//k为从第j个数i个矩阵就是k，从j到k表示他们之间的i个矩阵如何划分
			k=j+i-1;
			//m[j][k]存储了从j到k使用最佳划分所得到的最优结果
			m[j][k]=0;
			//q为介于j到k-1之间的数，目的是利用q对j到k之间的矩阵进行试探性的划分，
			//从而找到最优划分，这是一种遍历性的试探。
			for(q=j;q<=k-1;q++)
			{
				num=m[j][q]+m[q+1][k]+p[j-1]*p[q]*p[k];
				if(num>m[j][k])
				{
					m[j][k]=num;
					t[j][k]=q;
				}
			}
		}
	}
}
void PrintAnswer(int(*t)[10],int i,int j)
{
	if(i==j)
	{
		cout<<"A"<<i;
	}
	else
	{
		cout<<"(";
		PrintAnswer(t,i,t[i][j]);
		PrintAnswer(t,t[i][j]+1,j);
		cout<<")";
	}
}
int main()
{
	int p[7]={30,35,15,5,10,20,25};
	int m[10][10],t[10][10];
	MatrixChainOrder(p,m,t,7);
//	MemorizedMatrixChain(p,m,t,7);
	PrintAnswer(t,1,6);
	cout<<endl;
	cout<<m[1][6]<<endl;
	return 0;
}