调和分析

调和分析

调和分析起源于Euler,Fourier等著名科学家的研究，主要涉及算子插值方法、极大函数方法、球调和函数理论、位势理论、奇异积分以及一般可微函数空间等。经过近200年的发展，已经成为数学中的核心学科之一，在偏微分方程、代数数论中有广泛的应用。

调和分析是研究作为基本波形的叠加的函数或者信号的表示的数学分支。它研究并推广傅立叶级数和傅立叶变换的概念。基本波形称为调和函数，调和分析因此得名。在过去两个世纪中，它成了一个广泛的主题，内容包括从信号处理、量子力学到神经科学这样的宽广领域。

定义于Rn上的经典傅立叶变换仍然是一个处于研究状态的领域，特别是在关于更一般的对象（例如缓增广义函数）的傅立叶变换的方向。例如，若我们加上在一个分布f的要求，我们可以试图用f的傅立叶变换来表达这些要求。Paley-Wiener定理是这样的一个例子。Paley-Wiener定理直接蕴涵如果f是非0分布，有紧支撑 (这包含紧支撑函数)，则其傅立叶变换从不拥有紧支撑。这是在调和分析下的测不准原理的一个非常初等的形式。参看经典调和分析。

傅立叶级数可以在希尔伯特空间的意义下方便的研究，该空间提供了调和分析和泛函分析的一个联系。

谐波分析又称调和分析(harmonic analysis),指用三角函数来拟合数字信号或数字序列.根据拟合函数可以对不同的信号周期,位相及振幅的情况进行了解.

调和分析是分支数学那学习作用的表示法或发信号初学者的多用途符号指令代码的叠置波浪. 它调查，并且您推断概念傅立叶系列 并且 傅立叶变换. 初学者的多用途符号指令代码挥动叫的耕犁“泛音“因此命名“调和分析”，但命名“泛音”在这上下文在它的对整数频率倍数之外的原义被推断。在过去二个世纪，它在区域有成为的浩大的主题以应用不同信号处理, 量子力学和 神经科学. 古典傅立叶变换 Rn 仍然是持续的研究范围，特别关于傅立叶变革对生活将军对象这样被磨炼的发行. 如果我们在发行f强加增加要求，我们可以试图您翻译这些要求根据f.，傅立叶变换他将是事例。 Paley熏肉香肠定理 是此的例子。 Paley熏肉香肠立刻暗示的定理，如果f是非零的 发行 紧凑支持 (这些包括紧凑支持的作用)，然后它的傅立叶变换是对从未紧凑地支持。这是非常基本的形式的不确定原理在调和分析设置。参见经典调和分析.

傅立叶系列可以方便地被学习就状况希耳伯特空间提供调和分析之间的连接和功能分析.

抽象调和分析

其中一个调和分析生活现代分支，有它的根在中间- 20 th世纪，是分析在 拓扑学小组. 想法核心刺激耕犁各种各样傅立叶变换可以被推断您变换作用定义当地紧凑Hausdorff小组.

理论将是 能成立可换定律 当地 紧凑小组 叫 Pontryagin双重性; 它被认为您在令人满意的状态，他们到解释调和分析主要特点去。细节它在它热忱的页被开发。

调和分析学习那双重性和傅立叶变换物产; 并且企图您扩大那些特点您不同的设置，将是您结婚非能成立可换定律的事例状态群.

Nonabelian当地将是一般紧凑小组，调和分析紧密地相关您单一的成组表示法的理论。他将是紧凑小组，彼得Weyl定理解释怎么你也许通过选择一个不可约表示使泛音脱离表示法每相等类。泛音这个选择享用增加古典傅立叶变换的有用的物产根据运载的卷积您pointwise产品或者否则显示对强调的某一理解小组结构。

如果小组不是对能成立可换定律和紧凑，在一般令人满意的理论当前被知道。将由“令人满意”一个意味至少等值 Plancherel定理. 然而，许多您结婚被分析了的具体，将是例子 SLn. 在这中结婚，它结果那表示法在无限维度戏剧关键你滚动

调和分析是分支数学那学习作用的表示法或发信号初学者的多用途符号指令代码的叠置波浪. 它调查，并且您推断概念傅立叶系列 并且 傅立叶变换. 初学者的多用途符号指令代码挥动叫的耕犁“泛音“因此命名“调和分析”，但命名“泛音”在这上下文在它的对整数频率倍数之外的原义被推断。在过去二个世纪，它在区域有成为的浩大的主题以应用不同信号处理, 量子力学和 神经科学. 古典傅立叶变换 Rn 仍然是持续的研究范围，特别关于傅立叶变革对生活将军对象这样被磨炼的发行. 如果我们在发行f强加增加要求，我们可以试图您翻译这些要求根据f.，傅立叶变换他将是事例。 Paley熏肉香肠定理 是此的例子。 Paley熏肉香肠立刻暗示的定理，如果f是非零的 发行 紧凑支持 (这些包括紧凑支持的作用)，然后它的傅立叶变换是对从未紧凑地支持。这是非常基本的形式的不确定原理在调和分析设置。参见经典调和分析.

傅立叶系列可以方便地被学习就状况希耳伯特空间提供调和分析之间的连接和功能分析.

调和分析。

调和分析也叫FOURIER分析，形成于18世纪，来源于Fourier级数，主要研究函数的Fourier变换以及相关问题。早期的研究主要是围绕一元Fourier级数的收敛性、求和法等问题，这些内容在Zygmund的《三角级数》（Trigonometric Series）一书中有详尽的介绍。多元Fourier级数的近代发展，可以参考陆善镇、王昆扬著《Bochner-Riesz平均》（北京师范大学出版社）。



20世纪调和分析实变理论得到了深入发展，Hardy-Littlewood极大算子、Littlewood-Paley理论成了近代调和分析的重要工具。50年代奇异积分理论的产生、70年代Hardy空间的实变理论的形成都为当代调和分析的发展注入了新的活力，特别是Calderon-Zygmund奇异积分理论的发展以及在偏微分方程中的应用，可以说是五、六十年代调和分析最为辉煌的成就之一。有关这些问题，可以参考E. M. Stein和G. Weiss著《欧姓空间上的FOURIER分析引论》（上海科学技术出版社）、E. M. Stein著《奇异积分与函数的可微性》、陆善镇著《H^p空间的实变理论及其应用》（上海科学技术出版社）等。程民德、邓东皋和龙瑞麟著《实分析》（高等教育出版社）是调和分析的优秀的入门教材。



最近机工影印了一本非常优秀的国外教材《傅里叶分析》（Classical and Mordern Fourier Analysis）（作者：Loukas Grafakos，出版日期：2006年1月）



算子的有界性以及函数空间的刻画是调和分析的两个中心内容。近代调和分析的内容还包括群上的调和分析、流形上的调和分析等。目前，调和分析的内容和技巧渗透到了众多的数学分支，如：偏微分方程、复分析、位势论、算子理论、非线性分析、概率论等。小波分析可以说是20世纪七、八十年代调和分析及其应用的最重要的发展。



调和分析需要的“最基础”的知识是：复变函数、实变函数（实分析）、泛函分析等。

傅立叶级数可以在希尔伯特空间的意义下方便的研究，该空间提供了调和分析和泛函分析的一个联系。

最能把泛函分析和实际问题在一起的另一个重要方向是调和分析 (Harmonic Analysis)。我在这里列举它的两个个子领域，傅立叶分析和小波分析，我想这已经能说明它的实际价值。它研究的最核心的问题就是怎么用基函数去逼近和构造一个函数。它研究的是函数空间的问题，不可避免的必须以泛函分析为基础。除了傅立叶和小波，调和分析还研究一些很有用的函数空间，比如Hardy space，Sobolev space，这些空间有很多很好的性质，在工程中和物理学中都有很重要的应用。对于vision来说，调和分析在信号的表达，图像的构造，都是非常有用的工具。

当分析和线性代数走在一起，产生了泛函分析和调和分析；当分析和群论走在一起，我们就有了李群(Lie Group)和李代数(Lie Algebra)。它们给连续群上的元素赋予了代数结构。我一直认为这是一门非常漂亮的数学：在一个体系中，拓扑，微分和代数走到了一起。在一定条件下，通过李群和李代数的联系，它让几何变换的结合变成了线性运算，让子群化为线性子空间，这样就为Learning中许多重要的模型和算法的引入到对几何运动的建模创造了必要的条件。因此，我们相信李群和李代数对于vision有着重要意义，只不过学习它的道路可能会很艰辛，在它之前需要学习很多别的数学。