算法学习笔记之：找出所缺的整数

题目：数组A中包含n-1个[0,n-1]内的不同整数，n个数中只有一个数不在所给的数组中。设计一个找到这个数的O(n)时间的算法。除了数组A自身以外，只能利用O(1)的额外空间。

与之相似的另一个题目见《算法导论》思考题4-2：问题同上，但在这里，不能由一个单一操作来访问A中的一个完整整数，因为A中整数是以二进制表示的。我们所能用的唯一操作就是“取A[i]的第j位”，这个操作所花时间为常数。题目要求：证明如果仅用此操作，仍能在O(n)时间内找出所缺整数。

第一个题目可以想出以下几种方法：

解法一：[0,n-1]这个区间中所有整数的和不变，为n*(n-1)/2，对数组A中的所有元素求和，设为s，则丢失的整数就是n*(n-1)/2 – s。

解法二：异或运算。异或是个非常神奇的运算。设所缺的整数为k，[0,n-1]区间中所有n个数的异或结果为s(n)，异或运算满足交换率和结合率，所以s(n)可以被看作[0,n-1]中去掉k外的另外n-1个数的异或结果s(n-1)和k的异或。也即：s(n)=s(n-1)^k，我们给等式两边同时异或s(n-1)，等式变成了：s(n-1)^s(n)=s(n-1)^s(n-1)^k=k。而且，很明显s(n-1)其实就是数组A中所有元素的异或。所以，解法二就是：求出[0,n-1]内所有整数的异或结果s，再求出数组A中所有元素的异或结果t，所缺的整数就是s异或t。

解法三：因为A自身也有n-1个位置。可以把A作为一个散列表，这样做虽然能够得到结果，但是破坏了数组A。

至于《算法导论》思考题4-2的解法，在《算法艺术与信息学竞赛》上有解答。思路简述：自然数顺序的二进制表示最低位总是0和1交替出现，所以，首先读取数组A中所有元素的最低二进制位，如果得到的0和1的个数一样多，则说明所缺整数的最低二进制位为0，否则，哪个少，所缺整数的最低二进制位就是哪个。比如，我们得到所缺整数的最低二进制位为0，那么，说明数组A中最低二进制位为1的那些整数已经与此题无干，只需要在那些最低位为0的整数中找所缺整数。所以，时间复杂度是：T(n)=T(n/2)+n，计算：

对n的上取整或下取整不影响时间复杂度。即T(n)=O(n)。