LDA文本建模（3）——pLSA模型和LDA模型

统计文本建模的问题就是：追问这些观察到的语料库中的词序列是如何生成的。

1）LDA文本建模（1-2）里应该明白的结论

• beta分布是二项式分布的共轭先验概率分布：
  •  “对于非负实数和，我们有如下关系

------------------（1）

    其中对应的是二项分布的计数。针对于这种观测到的数据符合二项分布，参数的先验分布和后验分布都是Beta分布的情况，就是Beta-Binomial 共轭。”

• 狄利克雷分布（Dirichlet分布）是多项式分布的共轭先验概率分布：
  • “ 把从整数集合延拓到实数集合，从而得到更一般的表达式如下：

------------------（2）

    针对于这种观测到的数据符合多项分布，参数的先验分布和后验分布都是Dirichlet 分布的情况，就是 Dirichlet-Multinomial 共轭。  ”

• 频率派和贝叶斯派思考问题的模式：

频率派 把需要推断的参数θ看做是固定的未知常数，即概率 虽然是未知的，但最起码是确定的一个值。同时，样本X 是随机的，所以频率派重点研究样本空间，大部分的概率计算都是针对样本X 的分布；
贝叶斯派 的观点则截然相反，他们认为待估计的 参数是随机变量，服从一定的分布 ，而样本X 是固定的，由于样本是固定的，所以他们重点研究的是参数 的分布。他们的思维模式是： 先验分布  + 样本信息    后验分布   。上述思考模式意味着，新观察到的样本信息将修正人们以前对事物的认知。

2）LDA模型的基础模型：Unigram model、mixture of unigrams model，以及跟LDA最为接近的pLSA模型

统计文本建模的问题就是：追问这些观察到的语料库中的词序列是如何生成的。



2.1）Unigram Model：

假设：

和抛硬币的Binomial不同，抛V个面骰子的实验应该对应Mulitnomial，。

则：

形象的理解是：

 上图中的表示在文本中观察到的第n个词，n∈[1,N]表示该文本中一共有N个单词。加上方框表示重复，即一共有N个这样的随机变量。其中，p和α是隐含未知变量：

• p是词服从的Multinomial分布的参数
• α是Dirichlet分布（即Multinomial分布的先验分布）的参数。

    一般α由经验事先给定，p由观察到的文本中出现的词学习得到，表示文本中出现每个词的概率。

辛运的是，我们已知公式（2）：------------------（2），

另外，公式（23）中的Delta表示：

2.2）Mixture of unigrams model

该模型假设一篇文档只由一个主题生成。

该模型的生成过程是：给某个文档先选择一个主题 ，再根据该主题生成文档，该文档中的所有词都来自一个主题。

假设主题有 ，生成文档 的概率为：

    其图模型为（图中被涂色的w表示可观测变量，未被涂色的z表示未知的隐变量，N表示一篇文档中总共N个单词，M表示M篇文档）：

2.3）pLSA（Probabilistic Latent Semantic Analysis）模型

在上面的Mixture of unigrams model中，我们假定一篇文档只由一个主题生成，可实际中，一篇文章往往有多个主题，只是这多个主题各自在文档中出现的概率大小不一样。比如介绍一个国家的文档中，往往会分别从教育、经济、交通等多个主题进行介绍。那么在pLSA中，文档是怎样被生成的呢？

图形化表示为：

蛋疼：这边的p(z)是由上帝投骰子选择的，而Mixture of unigrams model中的p(z)居然没介绍是怎么来的。。。

3）LDA（Latent Dirichlet Allocation）模型

3.1）LDA简介

上面概率图可以分解为以下两个物理过程：

对于第一个物理过程：

对于第二个物理过程：

3.2）LDA参数估计

3.3）LDA模型的训练和推理