整数划分问题(递归&非递归)
递归算法：
将正整数n表示成一系列正整数之和，n=n1+n2+...+nk，其中n1>=n2>=n3>=...>=nk>=1，k>=1。
正整数n的这种表示称为正整数n的划分。正整数n的不同的划分个数城外正整数n的划分数，记作p(n)。
例如，正整数6有如下11种不同的划分，所以p(6)=11。
6;
5+1;
4+2;4+1+1;
3+3;3+2+1;3+1+1+1;
2+2+2;2+2+1+1;2+1+1+1+1;
1+1+1+1+1+1。
求解：
在正整数n的所有不同的划分中，将最大加数n1不大于m的划分个数记作q(n,m)。可以建立q(n,m)的递推关系。
(1)q(n,1)=1，n>=1。
当最大加数n1不大于1时，任何正整数n只有一种划分形式，即n=1+1+1.....+1。
(2)q(n,m)=q(n,n)，m>=n。
最大加数n1实际上不能大于n。因此q(1,m)=1。
(3)q(n,n)=1+q(n,n-1)。
正整数n的划分由n1=n的划分和n1<=n-1的划分组成。
(4)q(n,m)=q(n,m-1)+q(n-m,m)，n>m>1。
正整数n的最大加数n1不大于m的划分是由n1=m的划分和n1<=m-1的划分组成。
综上所述，设计计算q(n,m)的递归算法如下，其中正整数n的划分数p(n)=q(n,n)。
#include<iostream>
using namespace std;
int q(int n,int m)
{
if((n<1)||(m<1)) return 0;
if((n==1)||(m==1)) return 1;
if(n<m) return q(n,n);
else if(n==m) return q(n,m-1)+1;
return q(n,m-1)+q(n-m,m);
}
int main()
{
cout<<q(6,6)<<endl;
return 0;
}
非递归算法：
同样一个题目，换一种描述方式。
问题描述:
把 M 个同样的苹果放在N 个同样的盘子里，允许有的盘子空着不放，问共有多少
种不同的分法？（用K 表示）注意：5，1，1 和1，5，1 是同一种分法。
输入数据
第一行是测试数据的数目t（0 <= t <= 20）。以下每行均包含两个整数M 和N，以
空格分开。1<=M，N<=10。
输出要求
对输入的每组数据M 和N，用一行输出相应的K。
输入样例
1
7 3
输出样例
8
解题思路：
所有不同的摆放方法可以分为两类：至少有一个盘子空着和所有盘子都不空。我们可以分别计算这两类摆放方法的数目，然后把它们加起来。对于至少空着一个盘子的情况，则N 个盘子摆放M 个苹果的摆放方法数目与N-1 个盘子摆放M 个苹果的摆放方法数目相同。对于所有盘子都不空的情况，则N 个盘子摆放M 个苹果的摆放方法数目等于N 个盘子摆放M-N 个苹果的摆放方法数目。我们可以据此来用递归的方法求解这个问题。
设f(m, n) 为m 个苹果，n 个盘子的放法数目，则先对n 作讨论，如果n>m，必定有n-m 个盘子永远空着，去掉它们对摆放苹果方法数目不产生影响；即if(n>m) f(m,n) =f(m,m)。当n <= m 时，不同的放法可以分成两类：即有至少一个盘子空着或者所有盘子都有苹果，前一种情况相当于f(m , n) = f(m , n-1); 后一种情况可以从每个盘子中拿掉一个苹果，不影响不同放法的数目，即f(m , n) = f(m-n , n)。总的放苹果的放法数目等于两者的和，即 f(m,n) =f(m,n-1)+f(m-n,n) 。整个递归过程描述如下：
int f(int m , int n){
if(n == １ || m == 0) return 1;
if(n > m) return f (m, m);
return f (m , n-1)+f (m-n , n);
}
使用动态规划，改成非递归的形式。
#include<iostream>
using namespace std;
int dp[101][101];
int solve (int m,int n)
{
for (int i = 1;i <= n;i++)
dp[0][i] = 1;
for (int i = 1;i <= m;i++)
{
dp[i][0] = 0;
for (int j = 1;j <= n;j++)
{
if(i < j)
dp[i][j] = dp[i][i];
else
dp[i][j] = (dp[i-j][j]+dp[i][j-1]);
}
}
return dp[m][n];
}
int main() {
int n,m,ans;
while(scanf("%d%d",&m,&n)!=EOF)
{
ans = solve(m,n);
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}
参考
王晓东《算法设计与分析(第2版)》P23
程序设计导引及在线实践P178