八叉树及K-D树的应用和实现

1. 八叉树、k-d树的原理

2. 八叉树、k-d树的应用、优缺点

3. 八叉树、k-d树的实现

八叉树和k-d树都经常用来处理三维空间数据，k-d树的使用范围更宽泛些，适用于k维空间的数据，在Sift算法中，k-d树被用于在k维的空间内搜索邻近特征点。

1. 八叉树、k-d树的原理

wiki或百科上面都有详细的介绍。

http://en.wikipedia.org/wiki/K-d_tree

http://en.wikipedia.org/wiki/Octree

八叉树，一个立方体等分为八份，并可以持续的细分下去，虽然每个节点都能分出八个叉，但形象，且等分空间，简单容易理解。我曾经应用八叉树来离散化一个三角片表示的曲面，离散曲面。

单看下面的k-d树的图示，就让人眼晕了，虽然k-d树只有两个叉。眼晕的主要原因就是空间不等分。所以，只要理解k-d树划分空间的依据，剩下的细节都与八叉树类似了。其实k-d树叶可以有均分的模式，只要让划分依据变为node的中心点就行了，只不过这样做k-d的效率就不高了。

从下图看，其k-d每个节点划分的依据是 挑选一个维度，在这个维度上 找到 本节点内所有点的中值点，然后，进行划分。

k-d树的其他划分依据： 

取本节点内所有点的重心。

均分法。

使用这些方法时，要注意建树时的终止条件，避免陷入无限的循环（或递归）中。

(src: http://homes.ieu.edu.tr/hakcan/projects/kdtree/kdTree.html)

2. 八叉树、k-d树的应用、优缺点

八叉树一般都用于三维空间，若二维空间，可以用四叉树，原理是一模一样的。八叉树，常用于离散化空间，数据划分存储，数据查找等。

k-d树虽然是二叉树，却适用于k维的空间，而且在k邻域查找时，比较有优势。k-d也长用于数据划分存储，邻域查找等。

二者特性的比较：

八叉树算法的算法实现简单，但大数据量点云数据下，其使用比较困难的是最小粒度（叶节点）的确定，粒度较大时，有的节点数据量可能仍比较大，后续查询效率仍比较低，反之，粒度较小，八叉树的深度增加，需要的内存空间也比较大（每个非叶子节点需要八个指针），效率也降低。而等分的划分依据，使得在数据重心有偏斜的情况下，受划分深度限制，其效率不是太高。

k-d在邻域查找上比较有优势，但在大数据量的情况下，若划分粒度较小时，建树的开销也较大，但比八叉树灵活些。在小数据量的情况下，其搜索效率比较高，但在数据量增大的情况下，其效率会有一定的下降，一般是线性上升的规律。

也有将八叉树和k-d树结合起来的应用，应用八叉树进行大粒度的划分和查找，而后使用k-d树进行细分，效率会有一定的提升，但其搜索效率变化也与数据量的变化有一个线性关系。

3. 八叉树、k-d树的实现

采用递归的方式，代码比较简单，逻辑明了，前提是对递归不要太陌生。

网上有很多Octree的实现和库。如

http://www.flipcode.com/archives/Octree_Implementation.shtml

http://code.google.com/p/efficient-sparse-voxel-octrees/

http://akbar.marlboro.edu/~mahoney/support/alg/alg/node41.html

http://nomis80.org/code/octree.html

opencv中的也有octree的实现

Octree建树的逻辑：

自定义哪些数据类型？ 

tree类型，node类型；

每个节点应该包含哪些数据？ 

8个子节点指针，本节点的中心（划分与搜索的依据）和半径，点的个数，和子节点保存数据的容器

常用的手法是非叶子节点的点的个数为0，容器内无数据

如何划分数据？如何建立索引？

每个节点都会保存自己的中心坐标和半径，子节点保存数据，非子节点一般不保存数据，有了中心半径和本节点内的数据，就能划分建树，或者搜索

BuildTree(数据集, 数据个数, 中心，半径，当前深度)         // 递归建树函数

确定递归停止条件和动作，count < num_threshold 或 递归深度达到最大 时，为子节点

并保存子节点数据和个数

若无中心和半径，计算数据集的最小包围盒半径和中心

依据中心和半径，将数据划分为八份，计算八个子节点的中心和半径

进行新的八次递归建树 child[i]->BuildTree(新的数据集，新的数据个数，新的中心、半径，深度+1).

删除临时数据容器，释放内存

Search(point)

确定递归停止条件：子节点的个数为小于阈值，或递归深度达到最大

搜遍本节点内的数据，查找给定的点，若找到，返回true，找不到，返回false

取本节点的中心和半径，计算出应该在下一层那个子节点进行搜索，如k

子节点递归搜索，child[k]->search(point);

K-D树的逻辑：

自定义数据类型？

tree： 提供建树和搜索的接口

node节点，node节点里包含中心，半径，划分的维度，两个子节点指针，数据容器（子节点专用）

如何划分数据？

每个node计算数据的包围盒，每个维度的宽度，最大宽度的维度用于划分，计算中心（重心法，或排序中值法），然后子节点继续划分

Build（）

确定递归停止条件，本节点数据点数小于阈值，或达到最大深度，为子节点，保存数据。

由本节点的数据，计算包围盒，每个维度的宽度，最大宽度的维度用于划分计算中心（重心法，或排序中值法），然后划分数据

子节点由划分的数据继续下一步的划分建树child[i]->build()

最邻近点搜索，递归法：

find_closest_point(point)

确认本节点是子节点，停止递归，计算本节点内最邻近的点，及距离d。

若非子节点：

计算点到分割面的距离spd, 为正数，child[0]->find_closest_point(point)，在子节点0中继续搜索。

若计算出的最近点距离d 大于 分割面距离 spd，则仍需要在节点1中继续搜索最邻近点。

若距离分割面是非正数，在子节点1中搜索。

若计算出的最近点距离d 大于 分割面距离 spd，则仍需要在节点0中继续搜索最邻近点。