冲激响应不变法或双线性变换法中的参数T为什么是一个无关紧要的参数
冲激响应不变法或双线性变换法中的参数T
为什么是一个无关紧要的参数？
作者：jbb0523(彬彬有礼)
一、引言
在数字信号处理课程中，IIR滤波器设计方法一般只讲间接法，即首先根据实际要求设计一个模拟滤波器，然后再将这个模拟滤波器转换成数字滤波器。从模拟滤波器转换成数字滤波器的方法常见的有三种：冲激响应不变法、阶跃响应不变法、双线性变换法，其中以冲激响应不变法和双线性变换法更为常见；从模拟滤波器转换成数字滤波器的本质是从拉普拉斯(Laplace)域(或称为S域)映射到Z域。详细设计方法可以参见《姚天任，江太辉. 数字信号处理（第二版）[M]. 华中科技大学出版社，2000.》（以下简称教材）。
1、冲激响应不变法
若模拟滤波器的传递函数Ha(s)
其中sk为极点，式中假设了模拟滤波器的传递函数Ha(s)具有1阶极点，且分母的阶数高于分子的阶数，因此Ha(s)可进行上式的部分分式展开；
对Ha(s)求反拉氏变换得
使用冲激响应不变法求数字滤波器的冲激响应h(n)，即令t=nT
求h(n)的Z变换，得
2、双线性变换法
双线性变换法的具体思路可以参见程佩青的《数字信号处理教程（第四版）》，这里给出变换公式（其中T为取样周期）
3、参数T的选择
无论是冲激响应不变法还是双线性变换法，T都指取样周期，有关T的取值在教材中有几处提及，以下列举出三处。
第一处：第121页~122页
第二处：第123页
第三处：128页
以上都在说T是一个无关紧要的参数，可以根据需要取值，一般是按计算方便的原则取值。可是为什么T是一个无关紧要的参数呢？T是取样周期，如果T太大(采样频率太小)会不会造成频谱混叠呢？奈奎斯特(Nyquist)采样定理也不考虑了么？
二、参数T为什么是一个无关紧要的参数？
关于T为什么是一个无关紧要的参数的答案，其实在前面列出的教材第一处第121页~122页中已经说明了，就是“如果用数字域频率ω来规定数字滤波器的指标，那么冲激响应不变法设计中T是一个无关紧要的参数”，这里同样适用于双线性变换法，特别注意这里的前提“如果用数字域频率ω来规定数字滤波器的指标”！！！
回顾一下间接法设计IIR数字滤波器的过程：首先根据实际要求设计一个模拟滤波器，然后再将这个模拟滤波器转换成数字滤波器。
综上所述，我们的出发点是“用数字域频率ω来规定数字滤波器的指标”，我们的目的地是“IIR数字滤波器”。
知道了出发点和目的地，再来看设计过程。“首先根据实际要求设计一个模拟滤波器”，这里怎么根据实际要求呢？我们给出的是数字域频率ω来规定数字滤波器的指标，这也就是所谓的“根据实际要求”了，为了设计模拟滤波器，我们必须有模拟滤波器设计指标，“根据实际要求”，我们需要将数字域频率ω规定的数字滤波器指标转变成模拟滤波器设计指标，这个转换过程中必然要用到取样周期T(或取样频率fs)，至于转变的规则得依据设计过程的第二步“然后再将这个模拟滤波器转换成数字滤波器”。
前面已经说了，将模拟滤波器转换成数字滤波器的过程就是冲激响应不变法、双线性变换法等所要解决的问题。冲激响应不变法的本质就是对模拟滤波器的冲激响应h(t)抽样得到数字滤波器的单位抽样响应h(n)，因此从模拟域到数字域的变换过程中模拟角频率Ω与数字角频率ω(或圆周频率)的关系是线性变换ω=ΩT，所以第一步里要做的“将数字域频率ω规定的数字滤波器指标转变成模拟滤波器设计指标”的转变规则就是Ω=ω/T（ω=ΩT的变形）；而双线性变换法有些不同，为了做到从s域到z域的映射是一对一的关系，从模拟域到数字域的变换过程中模拟角频率Ω与数字角频率(或圆周频率)的关系是非线性变换ω=2arctan(TΩ/2)，因此第一步里要做的“将数字域频率ω规定的数字滤波器指标转变成模拟滤波器设计指标”的转变规则就是Ω=(2/T)tan(ω/2)（ω=2arctan(TΩ/2)的变形），此步即所谓双线性变换法中的预畸变。
经过以上分析可知，因为在第一步和第二步中从数字角频率ω变到模拟角频率Ω，再从模拟角频率Ω变到数字角频率ω，两次变换是对称的，只要两次变换过程的T是相同的即可，T的取值是无关紧要的。这里是不会违背抽样定理的，以冲激响应不变法设计IIR低通滤波器为例，设阻带截止频率为ωst，转换为模拟指标Ωst=ωst/T，离散化时抽样角频率为Ωs=2π/T，由于ωst必然小于等于π，Ωs必然大于等于2Ωst，即满足抽样定理而与T无关。
这里需要注意的是，有些时候，题目给出的指标不是“用数字域频率ω来规定数字滤波器的指标”，而是“用模拟频率f（或模拟角频率）来规定滤波器的指标”，这个时候首先要用系统实际的抽样频率fs将用模拟频率f（或模拟角频率）规定的滤波器的指标”转变成“用数字域频率ω规定的数字滤波器的指标”，转换关系为ω=ΩT，后面的设计就和前面描述一致了，即数字到模拟和模拟再到数字的两个过程，只要保证是同一个T即可，T是一个无关紧要的参数，当然你非要取成系统抽样频率也是可以的(T=1/fs)。比如教材第127页的例4.3，题目是用模拟频率给出的滤波器指标，.因此先转换成数字角频率给出的滤波器指标，再进行预畸变，然后用预畸变后的指标设计模拟滤波器，再采用双线性变换法进行离散得到IIR数字滤波器。 
三、结语
关于参数T为什么是一个无关紧要的参数这个问题是数字信号处理初学者经常困惑的一个问题，至少我在学习时就很困惑，尤其是遇到上面提到的例4.3之类的题目时就更晕了，为什么开始第(1)步要用题目给出的fs，而在后面的第(2)步往后T不是1/fs却成了一个无关紧要的参数？这里我斗胆责怪一下教材的编写者，在例4.3中可以看到，在(1)里有符号T，在(2)里也有符号T，但确切的讲二者不是一个T，不是一个T为什么要用同一个符号呢？我想这可能是混淆理解的原因之一吧。
末了，用一幅图来结束本文吧：
