Polya 定理 （附POJ 1286 Necklace of Beads 解题报告）

Polya定理：

       设G是一个p个对象的置换群，那么用k种颜色对p个对象进行染色！当一种方案在群G的作用下变为另外一种方案，那么我们这个时候就认为这两个方案是一样的。那么在这种规定下不同的染色方案为：

n=(Ek^m(f))/|G|，其中m(f)是置换f的循环节。

       Polya定理是基于Burnside定理和另外一个定理的，其中Burnside定理的通俗表达方法如下：

      1）如果令C(f)表示在置换f的作用下，本质不变的着色方案数！那么可以证明的是“本质不同的着色方案数就是所有置换f下的C(f)的平均数”。

       在Burnside的基础上，我们在介绍一个定理：

       2）如果使用k种颜色给有限集合S着色，那么对于一个置换f，在该置换下本质不变的着色方案数就是C(f)=k^(m(f))，其中m(f)是置换f的循环节数。

       基于上面的1）2）两个定理，便很明显的得到Polya定理。

       介绍了Polya定理之后，我们来看看Polya的简单应用，在POJ 1286题中，如果是旋转或者是对称变换相同的着色方案算作一种着色方案数。那么我们直接使用Polya定理进行求解就行了，但是这个时候对奇数和偶数的情况下对称变换的置换是不一样的，分开求解就可以了！对于旋转的置换的循环节我们直接进行dfs求解就可以了。

       

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL myPow(LL a,int b)
{
    LL sum=1LL;
    while(b)
    {
        if(b%2==1)
        {
            sum*=a;
        }
        a*=a;
        b/=2;
    }
    return sum;
}

int vis[30],adj[30];

void dfs(int i)
{
    if(vis[i]==0)
    {
        vis[i]=1;
        dfs(adj[i]);
    }
}

int find(int s,int n)
{
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int e=(s+i-1)%n;
        if(e==0)
            e=n;
        adj[i]=e;
    }
    int sum=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(vis[i]==0)
        {
            dfs(i);
            sum++;
        }
    }
    return sum;
}

int main()
{
    int n;
    LL a,b;
    while(scanf("%d",&n))
    {
        if(n==-1)
            break;
        if(n<=0)
        {
            printf("0\n");
            continue;
        }
        if(n%2==0)
        {
            a=myPow(3LL,n);
           for(int i=2;i<=n;i++)
           {
               int tn=find(i,n);
               a+=myPow(3LL,tn);
           }
            b=(LL)n;
            a=a+(LL)(n/2)*(myPow(3LL,(n+2)/2));
            a=a+(LL)(n/2)*(myPow(3LL,n/2));
            b+=(LL)n;
        }
        else
        {
            a=myPow(3LL,n);
            for(int i=2;i<=n;i++)
            {
                int tn=find(i,n);
                a+=myPow(3LL,tn);
            }
            b=(LL)n;
            a=a+(LL)n*(myPow(3LL,1+(n-1)/2));
            b+=(LL)n;
        }
        printf("%lld\n",a/b);
    }
    return 0;
}

下面附上我的代码：