数字布料模拟技术简介

转自：http://www.cnblogs.com/lai3d/archive/2010/08/06/1793613.html
http://www.tsinghuadmpx.com/zhuantilanmu/shuzibuliaomonijishu/2010/0205/1157.html

导读：首先，这是一篇牵扯到数学和物理知识的文章，如果您对文中所涉及的公式有所不明白的话，请在边上摆上一本《高等数学》以及一些物理学常识的知识。

首先来讲布，第一个问题是：为什么要模拟布的运动？游戏中很多地方都有布，那么目前大部分的做法是什么样的呢？目前大多数游戏所采用的方法是对布建立骨骼，然后由美工针对每个动作做不同的布料骨骼动画，这种做法带来的弊端就是布料不会随着周围环境的变化来变化。比如说，周围刮来一阵风，或者骑在马上，披风不能披落在马背上，等等之类的。而且如果游戏中动作很多的情况下，针对每个动作都需要做不同的布料骨骼的调整，加大的美工的工作量以及工作复杂度，另外如果披风的骨骼的数目不多的话，还会导致即使是调出来的动作也会产生很不美观的效果。

OK，罗嗦了一大堆，那么我们要实现什么呢？我们要实现一套针对布料的物理系统，要求在没有风的情况下，布料会受重力的影响，慢慢的飘落，并且在有风刮起来的时候，你的布要能“随风飘摆”。

下面来看看传统物理中，布料的模型。根据流体力学来说，布料上每个顶点的力可以用圣维南方程组来求，但是在数学里面来说，圣维南方程组是没有精确解的，那么我们就需来设计一种模型来求该方程的近似解。无数的物理高手，在模拟布的过程中，总结出了两套经典的模型，一套是“质点-弹簧”模型，另外一套是由微软中国研究院研究出来的“半钢体-复杂摆”模型，在我的布料引擎中所用到的是“质点-弹簧”模型，理由是该模型所存在的时间比“半钢体-复杂摆”模型要久很多，在稳定性，以及效率方面几乎没有风险。而如果采用“半钢体-复杂摆”，这还只是一个实验品，目前来讲还没有任何的应用，采用这种模型有一定的风险。

那么我们下面就来详细看看经典的“质点-弹簧”模型究竟是怎么样一回事：

在“质点-弹簧”模型中，任何的流体（柔体）都被分解为由N个质点，每个质点之间由各种不同方式的弹簧连接着。主要的连接方式有三种，一种是矩形连接法，即每个质点和他的“上下左右”四个点用弹簧进行连接。另外一种是交叉连接法，即每个质点和他的“左上，右下，左下，右下”四个点用弹簧进行连接。最后一种方法叫隔点连接法，既每个质点和他的“左边的左边，右边的右边，上面的上面和下面的下面”四个点用弹簧体进行连接，这种连接方式主要是用来简化之后的关于弹簧的弯取应力的计算，一般要和前两种连接方式混合起来使用。在我的布料运算的DEMO中，我采用了第一中矩形连接法，然后自己精确计算弹簧的弯取应力来实现的。

物理模型选定之后，就需要我们来针对传送进来的顶点进行编程进行建模，一般的方法是将布料的顶点，按照从左到右，从上到下的顺序传递进来，然后按照布料的宽度来进行程序上的物理建模。当模型建立好之后，我们就需要每一帧对模型中的每一个质点进行物理运算：

那么每个质点所受到的力具体该如何算呢？这里分为两步来进行计算，首先是内力，然后是外力：

每个质点都受到由弹簧建立成的模型所带来的弹簧的拉力，以及弹簧本身的弯取应力。

那么首先来算弹簧的拉力，首先获得当前质点在空间中的位置P0，然后获得和他用弹簧相连的周围各个质点的位置P1-P5，然后循环计算P1-P5和P0的距离，并用这个距离减去弹簧本身的长度，然后乘以弹簧的虎克系数，就是这个点在这一帧受到的弹簧拉力。

另外来算弹簧的弯取应力，在矩形模型中，则是通过计算“上面质点”和“下面质点”的夹角以及“左边质点”和“右边质点”的夹角来乘以一个弯取应系数来获得一个以当前质点为圆，两个质点的距离为半径的圆在邻质点的切线方向的一个力。

到这里，布料的内力都已经计算完成了，那么就需要来计算布料所受的外力了。

首先是重力，重力是根据质点的密度（质量）乘以重力加速度的一个值，然后是一个全局的阻力，否则弹簧会不停的弹来弹去没有个完，注意，这里的被乘数一定要是上一帧的速度向量，而不是当前的力向量。接下来就是风力，我对风力的处理可以理解为在质点的法线方向施加的一个力，力的大小跟风力向量以及质点的方向的夹角有关，当夹角为2*PI的时候，风力达到最大。

至此，质点的内力和外力都计算完毕，那么接下来如果通过这个力来获得下一帧的质点的位置呢？首先根据质点的质量和合力的大小来获得一个带方向的加速度，这一步只需要将算出来的力乘以1/质点的质量，得到加速度之后，就可以根据vt = v0 + at来计算这一帧的速度向量，随后将当前质点在空间中的位置加上v * t就是下一帧的质点的位置。

至此，对于布的模拟已经完全搞定了，不用怀疑，就这么简单，但是目前所实现的东西还无法应用，为什么？很简单，因为还没有做布的碰撞，如果一块披风在人身上穿过来穿过去的，那么做不做布还有什么意义？

对布做精确碰撞检测？这是不可能的，如果你要这样做你的游戏将只有20帧不到的FPS，用AABB包围盒碰撞？你希望看到一阵风吹过来，你的披风贴在一个正正方方的“人”上面？那么这里就提出一个新的概念“椭球包围体”碰撞。注意，这里的椭球体是不存在的，只是一个数学模型，并不是由三角型等组成的，这种椭球体可以绑定在人物骨骼上，随人物骨骼的运动而动，比如说人的头，就是一个x-y-z轴相等的椭球体，髋骨，盆骨，肩胛骨等都可以比较好的用椭球体体现出来。

椭球体是个很有意思的东西，在做FPS类游戏的时候，要实现上下楼梯的效果，用椭球包围体碰撞就是个非常好的方法，而在这里，不是椭球体跟三角型碰，而是顶点跟椭球体碰。那么下面来看看究竟如何比较好的描叙，以及来使用一个椭球体：

椭球体用三个向量来进行描叙，一个是椭球体在空间中的中点，另外一个向量是储存椭球体在x,y,z轴三个方向的半径的长度，另外一个向量则是指定椭球体的方向，我在DEMO中是以椭球体x轴的方向为椭球体的方向。

椭球体的方程是：(x^2 / a^2 + y^2 / b^2 + z^2 / c^2) = 1

那么相应的碰撞检测就是将某个顶点的x,y,z三个值带入方程，看结果是大于1还是小于1，如果小于1则发生了碰撞。那么发生碰撞之后怎么办呢？首先需要把这个顶点强行移动到离椭球体表面最近的点，这一步通过解从椭球体中点，过那个顶点的射线和椭球体方程一起连解，可以获得那个点，具体的推导这里就不列出来了，化简后方程如下：

设：x0,y0,z0为椭球体中点，x1,y1,z1为在椭球体内一点：

那么离它最近的椭球体表面一点为：

t = sqrt(1 / (sqr((x1-x0)/a) + sqr((y1-y0)/b) + sqr((z1-z0)/c)));

x = x0 + t*(x1-x0);

y = y0 + t*(y1-y0);

z = z0 + t*(z1-z0);

最后，由于整个布料的运算是基于物理模型的，所以并不能直接把它弄到椭球体表面就了事了，应该给它一个在椭球体上这一点的法线方向的支持力。
椭球体的法线的计算在化简之后为：

D3DXVECTOR3(sqr((x - x0) / a),sqr((y - y0) / b),sqr((z - z0) / c));

然后通过一个点乘算出当前质点所受的力在负法线方向的分量，然后用当前的力向量减去这个分量即可，之后再需要乘上一个这个椭球体的摩擦系数。

至此，整个布料运算+椭球体碰撞的模型介绍完毕。