扩展欧几里德算法

扩展欧几里德算法

基本算法：对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然存在整数对 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。

证明：设 a>b。

　　1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0；

　　2，ab!=0 时

　　设 ax1+by1=gcd(a,b);

　　bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);

　　根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);

　　则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;

　　即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;

　　根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;

     这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2.

　  上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以结束。

 

扩展欧几里德的递归代码：

 1 int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
 2 {
 3     if(b==0)
 4     {
 5         x=1;
 6         y=0;
 7         return a;
 8     }
 9     int r=exgcd(b,a%b,x,y);
10     int t=x;
11     x=y;
12     y=t-a/b*y;
13     return r;
14 }

 扩展欧几里德非递归代码：

 1 int exgcd(int m,int n,int &x,int &y)
 2 {
 3     int x1,y1,x0,y0;
 4     x0=1; y0=0;
 5     x1=0; y1=1;
 6     x=0; y=1;
 7     int r=m%n;
 8     int q=(m-r)/n;
 9     while(r)
10     {
11         x=x0-q*x1; y=y0-q*y1;
12         x0=x1; y0=y1;
13         x1=x; y1=y;
14         m=n; n=r; r=m%n;
15         q=(m-r)/n;
16     }
17     return n;
18 }