原理
令h(1)=1,h(2)=1，catalan数满足递归式：
h(n)= h(1)*h(n-1)+h(2)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(1) (其中n>=3)
例如：h(3)=h(1)*h(2)+h(2)*h(1)=1*1+1*1=2
h(4)=h(1)*h(3)+h(2)*h(2)+h(3)*h(1)=1*2+1*1+2*1=5
另类递归式：
h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1);
该递推关系的解为：
h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=1,2,3,...)
卡特兰数的应用
实质上都是递归等式的应用
括号化问题
矩阵链乘： P=a1×a2×a3×……×an，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？(h(n)种)
出栈次序问题
一个栈(无穷大)的进栈序列为1，2，3，…，n，有多少个不同的出栈序列?
分析
对于每一个数来说，必须进栈一次、出栈一次。我们把进栈设为状态‘1’，出栈设为状态‘0’。n个数的所有状态对应n个1和n个0组成的2n位二进制数。由于等待入栈的操作数按照1‥n的顺序排列、入栈的操作数b大于等于出栈的操作数a(a≤b)，因此输出序列的总数目=由左而右扫描由n个1和n个0组成的2n位二进制数，1的累计数不小于0的累计数的方案种数。
在2n位二进制数中填入n个1的方案数为c(2n,n),不填1的其余n位自动填0。从中减去不符合要求（由左而右扫描，0的累计数大于1的累计数）的方案数即为所求。
不符合要求的数的特征是由左而右扫描时，必然在某一奇数位2m+1位上首先出现m+1个0的累计数和m个1的累计数，此后的2(n-m)-1位上有n-m个 1和n-m-1个0。如若把后面这2(n-m)-1位上的0和1互换，使之成为n-m个0和n-m-1个1，结果得1个由n+1个0和n-1个1组成的2n位数，即一个不合要求的数对应于一个由n+1个0和n-1个1组成的排列。
反过来，任何一个由n+1个0和n-1个1组成的2n位二进制数，由于0的个数多2个，2n为偶数，故必在某一个奇数位上出现0的累计数超过1的累计数。同样在后面部分0和1互换，使之成为由n个0和n个1组成的2n位数，即n+1个0和n-1个1组成的2n位数必对应一个不符合要求的数。
因而不合要求的2n位数与n+1个0，n－1个1组成的排列一一对应。
显然，不符合要求的方案数为c(2n,n+1)。由此得出 输出序列的总数目=c(2n,n)-c(2n,n+1)=1/(n+1)*c(2n,n)。
（这个公式的下标是从h(0)=1开始的）
类似问题
有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人只有10元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票找零？(将持5元者到达视作将5元入栈，持10元者到达视作使栈中某5元出栈)
凸多边形的三角剖分问题
求将一个 凸多边形区域分成三角形区域的方法数。
类似：一位大城市的律师在她住所以北n个街区和以东n个街区处工作。每天她走2n个街区去上班。如果她从不穿越（但可以碰到）从家到办公室的对角线，那么有多少条可能的道路？
类似：在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数?
用给定节点组成二叉树的问题
给定N个节点，能构成多少种不同的 二叉树？
（能构成h（N）个）
（这个公式的下标是从h(0)=1开始的）
import java.io.*;
import java.math.*;
import java.util.*;
public class Main
{
public static void main(String args[]) throws Exception
{
Scanner cin=new Scanner(System.in);
BigInteger []a = new BigInteger [105];
a[0] = BigInteger.ONE;
a[1] = BigInteger.ONE;
for(int i = 2; i <= 100; i++)
a[i] = a[i - 1].multiply(BigInteger.valueOf(4 * i - 2)).divide(BigInteger.valueOf(i+1));
int n;
while(cin.hasNext())
{
n = cin.nextInt();
if(n == -1) break;
System.out.println(a[n]);
}
}
}
