空间统计（五）诊断回归分析结果

为了理解、解释、预测某个问题，我们会进行回归分析。上一篇中提到了回归模型中的因变量和解释变量的概念，用一组解释变量来建模解释因变量，但事实上，选择一组优质的解释变量并不是那么容易。通常我们会根据一些常识、理论基础、某些研究、专家的意见、参考文献等等选择一组解释变量，来进行解释变量的筛选。在ArcGIS Desktop中，当我们使用 普通最小二乘法（OLS）执行回归分析的时候，工具会进行诊断测试，提供一个汇总报告，帮助我们诊断回归分析的质量。这篇文章咱们就围绕这个话题展开——回归分析的结果诊断。

六项检查

帮助文档中也有相关的内容，但是觉得相对还是比较晦涩，我就结合Esri Global UC的视频介绍一下。内容不尽相同，但是对学习回归分析是有帮助的。

Check #1 解释变量与因变量具有预期的关系否？

每个解释变量都会有一个系数，系数具有+/-号，来表示解释变量与因变量的关系。从工具的得到的报告中，我们看到的系数的正负，每个解释变量应该是我们期望的关系。如果有非常不符合逻辑的系数，我们就应该考虑剔除它了。

当然，有时也可能得到与常识不同的结论。举个例子，假如我们在研究森林火灾，我们通常认为降雨充沛的区域火灾的发生率会相对较低，也就是所谓的负相关，但是，这片森林火灾频发的原因可能是闪电雷击，这样降雨量这个解释变量可能就不是常识中的负相关的关系了。

因此，我们除了验证解释变量的系数与先验知识是否相符外，还有继续结合其他项检查继续诊断，从而得出更可靠的结论。

Check #2 解释变量对模型有帮助否？

解释变量对模型有无帮助说的就是解释变量是否有显著性，同样我们可以从 OLS 工具的汇总报表中得出些结论。

那如何了解这些解释变量是否有显著性呢？

OLS 工具除了对模型中的每个解释变量计算一个系数外，还执行统计检验以确定这些解释变量是否对模型有所帮助。

如果解释变量的系数为零（或非常接近零），我们认为这个解释变量对模型没有帮助，统计检验就用来计算系数为零的概率。如果统计检验返回一个小概率值（p 值），则表示系数为零的概率很小。如果概率小于 0.05，OLS 汇总报告上 概率（Probability） 旁边的一个 星号（*） 表示相关解释变量对模型非常重要。换句话说，其系数在 95% 置信度上具有统计显著性。

利用空间数据在研究区域内建模的关系存在差异是非常常见的，这些关系的特征就是不稳定。我们就需要通过 稳健概率（robust probability） 了解一个解释变量是否具有统计显著性。 OLS 汇总报告中所包括的另一项统计检验是用于不稳定性的 Koenker（Koenker 的标准化 Breusch-Pagan）统计量。

你也可以忽略上面说的，傻瓜方法就是：确保解释变量的概率、稳健概率列中带星号。

Check #3 残差是否有空间聚类？

残差在空间上应该是随机分布的，而不应该出现聚类。这项检查我们可以使用 空间自相关工具（Spatial Autocorrelation Tool）工具进行检查。

Check #4 模型是否出现了倾向性？

我们以前听过政治老师说过，不要戴着“有色眼镜”看人！也可能是历史老师？这不重要。。同样，回归分析模型中，也不要带有“成见”，不能具有倾向性，否则，这不是个客观合理的模型。

我们都知道正态分布是个极好的分布模式，如果我们正确的构建了回归分析模型，那么模型的残差会符合完美的正态分布，其图形为钟形曲线。

当模型出现偏差时，可能我们看到的图形也是诡异的，这样我们就无法完全信任所预测的结果。

如何检验呢？

在 OLS 汇总报告中，有一个具有统计显著性的 Jarque-Bera 诊断表示模型是否出现偏差。如下图中是没有偏差的模型，如果有偏差，在篮框中会出现星号。

因此，判断自己的模型没有偏差的最直观的方法就是：Jarque-Bera 诊断中没有星号。

解决偏差！

为了解决模型偏差，最好为所有模型变量创建一个散点图矩阵。因变量和一个解释变量之间存在非线性关系，这是出现模型偏差的常见原因。这些在散点图矩阵中看起来像一条曲线。

OLS 是一种线性回归方法，假设您正在建模的关系是线性关系。如果不是，可尝试变换您的变量，以查看这样做是否可创建出线性更明显的关系。常见变换包括对数变换和指数变换。

另外，散点矩阵图还可以显示出数据异常值。要了解一个异常值是否正在影响您的模型，请尝试在含有和不含有异常值的情况下分别运行 OLS，从而了解异常值对模型性能的更改程度，以及移除异常值是否会校正模型偏差。

Check #5 解释变量中存在冗余吗？

在我们建模的过程中，应尽量去选择表示各个不同方面的解释变量，也就是尽量避免传达相同或相似信息的解释变量。要清楚，引入了冗余变量的模型是不足以信任的。

那么问题来了，如何判断是否存在冗余解释变量？

OLS工具会为每个变量计算膨胀因子（Variance Inflation Factor，VIF），VIF 值是对变量冗余度的一种度量，可辅助决定在不削弱模型解释能力的情况下可从中移除哪些变量。根据经验，VIF 值超过 7.5 就有问题。如果有两个或更多解释变量的 VIF 值超过了 7.5，应该一次移除其中一个变量并重新运行 OLS，直到冗余消失。记住，不要全部移除掉哦！

Check #6 评估模型的性能

最后需要做的是，评估模型的性能。 矫正R²值 是评估解释变量对因变量建模的重要度量。

这项检查应该放到最后。一旦我们通过了前面的所有检验，接下来就可以进行评估矫正R²值。

R²值的范围介于 0 和 1 之间，以百分比形式表示。假设正在为犯罪率建模，并找到一个通过之前所有五项检查的模型，其校正 R² 值为 0.65。这样就可以了解到模型中的解释变量说明犯罪率是 65%（更技术一些来说就是，模型解释了犯罪率因变量中 65% 的变化量）。在有些科学领域，能够解释复杂现象的 23% 就会让人兴奋不已。在其他领域，一个R²值可能需要更靠近 80% 或 90% 才能引起别人的注意。不管采用哪一种方式，校正 R2 值都会帮我们判断自己模型的性能。

另一项辅助评估模型性能的重要诊断是修正的 Akaike 信息准则 /Akaike’s information criterion (AICc)。AICc 值是用于比较多个模型的一项有用度量。例如，可能希望尝试用几组不同的解释变量为学生的分数建模。在一个模型中仅使用人口统计变量，而在另一个模型选择有关学校和教室的变量，如每位学生的支出和师生比。只要所有进行比较的模型的因变量（在本示例中为学生测试分数）相同，我们就可以使用来自每个模型的 AICc 值确定哪一个的表现更好。模型的 AICc 值越小，越适合观测的数据。

有关回归分析结果诊断就说这么多了，希望看起来不是那么枯燥无味……