约瑟夫环问题

转载来自：http://blog.csdn.net/sunandice/article/details/6560889

问题描述：约瑟夫环（Josephus）问题是[1]由古罗马的史学家约瑟夫（Josephus）提出的，他参加并记录了公元66—70年犹太人反抗罗马的起义。约瑟夫作为一个将军，设法守住了裘达伯特城达47天之久，在城市沦陷之后，他和40名死硬的将士在附近的一个洞穴中避难。在那里，这些叛乱者表决说“要投降毋宁死”。于是，约瑟夫建议每个人轮流杀死他旁边的人，而这个顺序是由抽签决定的。约瑟夫有预谋地抓到了最后一签，并且，作为洞穴中的两个幸存者之一，他说服了他原先的牺牲品一起投降了罗马。 
　约瑟夫环问题的具体描述是：设有编号为1，2，……，n的n(n>0)个人围成一个圈，从第1个人开始报数，报到m时停止报数，报m的人出圈，再从他的下一个人起重新报数，报到m时停止报数，报m的出圈，……，如此下去，直到所有人全部出圈为止。

 

现在有两个具体的问题：

1、当任意给定n和m后，设计算法求n个人出圈的次序。  
2、求出最后出圈的那个人的序号。

 

解答：

1、我尝试着用数学方法来解决这个问题，但是没找到比较好的解法（主要是某个序号在前一阶段已经被删除了，这点不好记录）。因此还是用程序来解决吧。网上的代码很多，大意是构造一个循环链表，每经过一个数组元素，则将计数器数加1.当计数器加到m时，移除该链表元素，将计数器置为0，继续往下数。直到链表长度为1.移除元素的顺序即为n个人除权的次序。算法复杂度为O(nm).

 

2、这个问题可以用第一个问题的最后出列的序号来求解。但从数学上有更好的解法。每次去除一个元素后，将剩下的元素重新排序，用倒推的方法求出下一个出圈的元素在上一轮中的序号。从倒数第一轮一直推到第一轮，就能够直到胜利的那个元素的原先的序号。详情如下[1]：

 

 为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意： 
问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出 
，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。 
我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后，剩下的n-1个人组 
成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）: 
   k   k+1   k+2   ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2 
并且从k开始报0。 
现在我们把他们的编号做一下转换： 
k      --> 0 
k+1    --> 1 
k+2    --> 2 
... 
... 
k-2    --> n-2 
k-1    --> n-1 
变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这 
个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x 
变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相 
信大家都可以推出来：x‘=(x+k)%n 
如何知道(n-1)个人报数的问题的解？对，只要知道(n-2)个人的解就 
行了。(n-2)个人的解呢？当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是 
一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式： 
令f表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然 
是f[n] 
递推公式 
f[1]=0; 
f=(f[i-1]+m)%i;   (i>1) 
有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f的数值，最后结 
果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出f[n]+1 
由于是逐级递推，不需要保存每个f，程序也是异常简单： 
#include <stdio.h> 
main() 
{ 
   int n, m, i, s=0; 
   printf ("N M = "); scanf("%d%d", &n, &m); 
   for (i=2; i<=n; i++) s=(s+m)%i; 
   printf ("The winner is %d/n", s+1); 
} 
这个算法的时间复杂度为O(n).

 

 

[1]http://chenchuxin.iteye.com/blog/173518