HDU 1025 Constructing Roads In JGShining's Kingdom

思路：

        仔细考虑就是求最长公共子序列问题

         最长公共子序列的算法：

        （1）通过dp求，好理解O（n*n）;（此题不能用DP会超时）

        （2）通过二分法求O（n*lgn）;

           过程如下：

假设存在一个序列d[1..9] = 2 1 5 3 6 4 8 9 7，可以看出来它的LIS长度为5。
下面一步一步试着找出它。
我们定义一个序列B，然后令 i = 1 to 9 逐个考察这个序列。
此外，我们用一个变量Len来记录现在最长算到多少了

首先，把d[1]有序地放到B里，令B[1] = 2，就是说当只有1一个数字2的时候，长度为1的LIS的最小末尾是2。这时Len=1

然后，把d[2]有序地放到B里，令B[1] = 1，就是说长度为1的LIS的最小末尾是1，d[1]=2已经没用了，很容易理解吧。这时Len=1

接着，d[3] = 5，d[3]>B[1]，所以令B[1+1]=B[2]=d[3]=5，就是说长度为2的LIS的最小末尾是5，很容易理解吧。这时候B[1..2] = 1, 5，Len＝2

再来，d[4] = 3，它正好加在1,5之间，放在1的位置显然不合适，因为1小于3，长度为1的LIS最小末尾应该是1，这样很容易推知，长度为2的LIS最小末尾是3，于是可以把5淘汰掉，这时候B[1..2] = 1, 3，Len = 2

继续，d[5] = 6，它在3后面，因为B[2] = 3, 而6在3后面，于是很容易可以推知B[3] = 6, 这时B[1..3] = 1, 3, 6，还是很容易理解吧？ Len = 3 了噢。

第6个, d[6] = 4，你看它在3和6之间，于是我们就可以把6替换掉，得到B[3] = 4。B[1..3] = 1, 3, 4， Len继续等于3

第7个, d[7] = 8，它很大，比4大，嗯。于是B[4] = 8。Len变成4了

第8个, d[8] = 9，得到B[5] = 9，嗯。Len继续增大，到5了。

最后一个, d[9] = 7，它在B[3] = 4和B[4] = 8之间，所以我们知道，最新的B[4] =7，B[1..5] = 1, 3, 4, 7, 9，Len = 5。

于是我们知道了LIS的长度为5。

!!!!! 注意。这个1,3,4,7,9不是LIS，它只是存储的对应长度LIS的最小末尾。有了这个末尾，我们就可以一个一个地插入数据。虽然最后一个d[9] = 7更新进去对于这组数据没有什么意义，但是如果后面再出现两个数字 8 和 9，那么就可以把8更新到d[5], 9更新到d[6]，得出LIS的长度为6。

然后应该发现一件事情了：在B中插入数据是有序的，而且是进行替换而不需要挪动——也就是说，我们可以使用二分查找，将每一个数字的插入时间优化到O(logN)~~~~~于是算法的时间复杂度就降低到了O(NlogN)～！

 代码：

int LIS(int d[], int n){
    int *B = new int[n];
    int left, right, mid, len = 1;
    B[0] = d[1]; //为了和上面的一致，我们从1开始计数吧:)
    for(i = 2; i <= n; ++i){
        left = 0, right = len;
        while(left <= right){
            mid = (left + right) / 2;
            if(B[mid] < d[i]) left = mid + 1; //二分查找d[i]的插入位置
            else right = mid - 1;
        }
        B[left] = d[i]; //插入
        if(left > len) len++; //d[i]比现有的所有数字都大，所以left 才会大于 len。
    }
    delete[] B;
    return len;
}

AC代码：

#include<stdio.h>
#define N 500001
int b[N],p[N];
int n;
int main()
{
    int i;
	int len;
	int t=1;
	int x,y;
	int left,right,middle;
	while(scanf("%d",&n)!=-1)
	{
        for(i=1;i<=n;i++)
		{
		  scanf("%d%d",&x,&y);
		  p[x]=y;
		}
		b[1]=p[1];
		len=1;
		for(i=2;i<=n;i++)
		{
		    left=1;
			right=len;
			while(left<=right)
			{
			    middle=(left+right)/2;
				if(b[middle]<p[i])left=middle+1;
				   else right=middle-1;
			}
			b[left]=p[i];
			if(left>len)len++;
		}
    	printf("Case %d:\n",t++);
		if(len==1)
    	   printf("My king, at most %d road can be built.\n\n",len);
		  else printf("My king, at most %d roads can be built.\n\n",len);
	}
    return 0;
}

说明：最后面的输出road与roads是有区别的