归并排序-求逆序数算法

归并排序一直以为比较简单，不算特别重视，今天试着写了一下，很尴尬，失败了几次．最后还是决定写博记录一下．废话不多说，直接进正题．

算法：归并排序是分治法(分而治之)的一种典型应用，应用递归的思想，自顶向下思考：先假定MergeSort()可以将一个乱序的数组排好序，因此就可以开始"分"(将一个数组平均分成两部分），再"治"(分别对前后部分调用MergeSort()使它们有序)，最后再写一个合并子函数Merge()，它可以将两个有序的数组合并，Merge()实现起来比较容易．只需要管理两个指针，分别指向两个子数组的开头，开辟新内存保存中间结果，遍历完两个数组就可以完成，时间是Θ(n).

假定n个元素的数组调用MergeSort()需要时间T(n).因此，T(n)=2T(n/2)+Θ(n)．由主定理可知：T(n)=Θ(nlogn).归并排序算法的时间复杂度是Θ(nlogn)，空间复杂度是Θ(n).

     由归并排序扩展可以求逆序数．

　　逆序数的定义：如果 i < j 且A[i] > A[j].则A[i]和A[j]即为逆序数对．逆序数对的个数就叫逆序数．因此求逆序数可以通过管理两个指针，两次扫描数组，蛮力法求出，显然时间复杂度是Θ(n^2).那么有更快的办法吗？答案是肯定的，利用归并排序法，稍做改进即可．在Merge()中，合并两个已经有序的数组A,B.因为A.B有序,所以,A,B各自的逆序数是0,所以AB的逆序数等于A,B之间的逆序数.

举个例子: A=1,4,6,7,9 B=2,3,5,10,13,21.在Merge中发现当前i号元素4比2大,那么4的逆序数需要+1,又因6,7,9都排在4后面,那么6,7,9的逆序数也应该+1,所以总体的逆序数应该加上last-i+1.(如果i号元素比B[j]小（比如4比5小）,无法确定逆序数的变化,不作任何修改).

代码:

#include<iostream>
using namespace std;
int count=0;//新增
void Merge(int* A,int left,int mid,int right,int* C)
{	//Merge可以将两个有序的数组排好序,时间复杂度:o(n)
	int i=left;
	int j=mid+1;
	int k=left;
	while(i <= mid && j <= right)
	{
		if(A[i] <= A[j])
			C[k++]=A[i++];
		else
		{
			C[k++]=A[j++];
			count += mid-i+1;//新增
		}
	}
	while(i <= mid)
		C[k++]=A[i++];
	while(j <= right)
		C[k++]=A[j++];
	//C[]已经有序，将C[]中数据复制回原数组A[]
	for(int i=left;i <= right;++i)
		A[i]=C[i];
}	
void MergeSort(int* A,int left,int right,int* C)//假定MergeSort能将一个乱序数组A排好序．
{
	if(left < right)
	{
		int mid=(left+right)/2;
		MergeSort(A,left,mid,C);//排好一个数组1
		MergeSort(A,mid+1,right,C);//排好一个数组2
		Merge(A,left,mid,right,C); //合并两个有序的数组
	}
}

void main()
{
	int A[]={2,1,3,6,4,0,11,3,5};
	int len=sizeof(A)/sizeof(A[0]);
	int *C=new int[len];
	MergeSort(A,0,len-1,C);
	for(int i=0;i<len;++i)
		cout<<A[i]<<' ';
	cout<<endl;
	cout<<count<<endl;
	delete[] C;
}