算法-----龙格－库塔法（转）

 

算法-----龙格－库塔法（转）

分类： 算法 2012-06-06 15:12  997人阅读  评论(0)  收藏  举报

算法 框架 工具 bi hp c

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数值分析中，龙格－库塔法（Runge-Kutta）是用于模拟常微分方程的解的重要的一类隐式或显式迭代法。这些技术由数学家卡尔·龙格和马丁·威尔海姆·库塔于1900年左右发明。

龙格库塔法的家族中的一个成员如此常用，以至于经常被称为“RK4”或者就是“龙格库塔法”。该方法主要是在已知方程导数和初值信息，利用计算机仿真时应用，省去求解微分方程的复杂过程。经典四阶龙格库塔法

令初值问题表述如下。

则，对于该问题的RK4由如下方程给出：

其中

这样，下一个值(yn+1)由现在的值(yn)加上时间间隔(h)和一个估算的斜率的乘积决定。该斜率是以下斜率的加权平均：
k1是时间段开始时的斜率；
k2是时间段中点的斜率，通过欧拉法采用斜率k1来决定y在点tn + h/2的值；
k3也是中点的斜率，但是这次采用斜率k2决定y值；
k4是时间段终点的斜率，其y值用k3决定。
当四个斜率取平均时，中点的斜率有更大的权值：

RK4法是四阶方法，也就是说每步的误差是h5阶，而总积累误差为h4阶。
注意上述公式对于标量或者向量函数(y可以是向量)都适用。

显式龙格库塔法

显式龙格－库塔法是上述RK4法的一个推广。它由下式给出

其中

(注意：上述方程在不同著述中由不同但却等价的定义)。

要给定一个特定的方法，必须提供整数s (级数)，以及系数 aij (对于1 ≤ j < i ≤s), bi (对于i = 1, 2, ..., s)和ci (对于i = 2, 3, ..., s)。这些数据通常排列在一个助记工具中，称为龙格库塔表：

	0

龙格库塔法是自洽的，如果

如果要求方法有精度p则还有相应的条件，也就是要求舍入误差为O(hp+1)时的条件。这些可以从舍入误差本身的定义中导出。例如，一个2级2阶方法要求b1 + b2 = 1, b2c2 = 1/2, 以及b2a21 = 1/2。

例子

RK4法处于这个框架之内。其表为：

	0
	1/2	1/2
	1/2	0	1/2
	1	0	0	1
		1/6	1/3	1/3	1/6

然而，最简单的龙格-库塔法是(更早发现的) 欧拉方法，如果给定公式。这是唯一自洽的一级显式龙格库塔方法。相应的表为:

	0
		1