POJ 2195 Going Home (二分图最大权匹配、KM算法）

题意：给你一张图，图上有n个人和n座房子，每个人需要回到一所房子，要求路程之和最小。
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mmmHmmmm
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题解：其实题目是求最小带权匹配，怎么化成求最大带权匹配呢？方法一可以将每个值取相反数。方法二用上界减去各个值。

基本原理

　　该算法是通过给每个顶点一个标号（叫做顶标）来把求最大权匹配的问题转化为求完备匹配的问题的。设顶点Xi的顶标为A[ i ]，顶点Yj的顶标为B[ j ]，顶点Xi与Yj之间的边权为w[i,j]。在算法执行过程中的任一时刻，对于任一条边(i,j)，A[ i ]+B[j]>=w[i,j]始终成立。

　　KM算法的正确性基于以下定理：

　　若由二分图中所有满足A[ i ]+B[j]=w[i,j]的边(i,j)构成的子图（称做相等子图）有完备匹配，那么这个完备匹配就是二分图的最大权匹配。

　　首先解释下什么是完备匹配，所谓的完备匹配就是在二部图中，X点集中的所有点都有对应的匹配或者是

　　Y点集中所有的点都有对应的匹配，则称该匹配为完备匹配。

　　这个定理是显然的。因为对于二分图的任意一个匹配，如果它包含于相等子图，那么它的边权和等于所有顶点的顶标和；如果它有的边不包含于相等子图，那么它的边权和小于所有顶点的顶标和。所以相等子图的完备匹配一定是二分图的最大权匹配。

　　初始时为了使A[ i ]+B[j]>=w[i,j]恒成立，令A[ i ]为所有与顶点Xi关联的边的最大权，B[j]=0。如果当前的相等子图没有完备匹配，就按下面的方法修改顶标以使扩大相等子图，直到相等子图具有完备匹配为止。

　　我们求当前相等子图的完备匹配失败了，是因为对于某个X顶点，我们找不到一条从它出发的交错路。这时我们获得了一棵交错树，它的叶子结点全部是X顶点。现在我们把交错树中X顶点的顶标全都减小某个值d，Y顶点的顶标全都增加同一个值d，那么我们会发现：

　　1）两端都在交错树中的边(i,j)，A[ i ]+B[j]的值没有变化。也就是说，它原来属于相等子图，现在仍属于相等子图。

　　2）两端都不在交错树中的边(i,j)，A[ i ]和B[j]都没有变化。也就是说，它原来属于（或不属于）相等子图，现在仍属于（或不属于）相等子图。

　　3）X端不在交错树中，Y端在交错树中的边(i,j)，它的A[ i ]+B[j]的值有所增大。它原来不属于相等子图，现在仍不属于相等子图。

　　4）X端在交错树中，Y端不在交错树中的边(i,j)，它的A[ i ]+B[j]的值有所减小。也就说，它原来不属于相等子图，现在可能进入了相等子图，因而使相等子图得到了扩大。

　　现在的问题就是求d值了。为了使A[ i ]+B[j]>=w[i,j]始终成立，且至少有一条边进入相等子图，d应该等于：

　　Min{A[ i ]+B[j]-w[i,j] | Xi在交错树中，Yi不在交错树中}。

改进：

　　以上就是KM算法的基本思路。但是朴素的实现方法，时间复杂度为O(n^4)——需要找O(n)次增广路，每次增广最多需要修改O(n)次顶标，每次修改顶标时由于要枚举边来求d值，复杂度为O(n^2)。实际上KM算法的复杂度是可以做到O(n^3)的。我们给每个Y顶点一个“松弛量”函数slack，每次开始找增广路时初始化为无穷大。在寻找增广路的过程中，检查边(i,j)时，如果它不在相等子图中，则让slack[j]变成原值与A[ i ]+B[j]-w[i,j]的较小值。这样，在修改顶标时，取所有不在交错树中的Y顶点的slack值中的最小值作为d值即可。但还要注意一点：修改顶标后，要把所有的不在交错树中的Y顶点的slack值都减去d。

　　Kuhn－Munkras算法流程：

　　(1)初始化可行顶标的值；

　　(2)用匈牙利算法寻找完备匹配；

　　(3)若未找到完备匹配则修改可行顶标的值；

　　(4)重复(2)(3)直到找到相等子图的完备匹配为止；

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAX 105
#define INF 9999999
struct House { int r, c; } house[MAX];
struct Man { int r, c; } man[MAX];
int H, M, n, m;
int A[MAX], B[MAX];
int visA[MAX], visB[MAX];
int match[MAX], slack[MAX], map[MAX][MAX];

bool find_path ( int i )
{
	visA[i] = true;
	for ( int j = 0; j < H; j++ )
	{
		if ( !visB[j] && A[i] + B[j] == map[i][j] )
		{
			visB[j] = true;
			if (match[j] == -1 || find_path(match[j]))
			{
				match[j] = i;
				return true;
			}
		}
		else if ( A[i] + B[j] > map[i][j] ) //j属于B，且不在交错路径中
			slack[j] = min(slack[j], A[i]+B[j]-map[i][j]);
	}
	return false;
}

void KM ()
{
    int i, j, d;
    memset(A,0,sizeof(A));
    memset(B,0,sizeof(B));
    memset(match,-1,sizeof(match));
    for ( i = 0; i < M; i++ )
        for ( j = 0; j < H; j++ )
            A[i] = max (map[i][j], A[i]);
    for ( i = 0; i < M; i++ )
    {
        for ( j = 0; j < H; j++ )
            slack[j] = INF;
        while ( 1 )
        {
            memset(visA,0,sizeof(visA));
            memset(visB,0,sizeof(visB));
            if ( find_path ( i ) ) break; //从i点出发找到交错路径则跳出循环
            for ( d = INF, j = 0; j < H; j++ ) //取最小的slack[j]
                if (!visB[j] && d > slack[j]) d = slack[j];
            for ( j = 0; j < M; j++ ) //集合A中位于交错路径上的-d
                if ( visA[j] ) A[j] -= d;
            for ( j = 0; j < H; j++ ) //集合B中位于交错路径上的+d
                if ( visB[j] ) B[j] += d;
                else slack[j] -= d; //注意修改不在交错路径上的slack[j]
        }
    }
}

int main()
{
    char s[MAX];
	int i, j, res;
	while ( scanf("%d%d",&n,&m) )
	{
	    if ( !m && !n ) break;
		H = M = res = 0;
		for ( i = 0; i < n; i++ )
		{
			scanf("%s",s);
			for ( j = 0; j < m; j++ )
			{
				if ( s[j] == 'H' )
                    house[H].r = i, house[H++].c = j;
				else if ( s[j] == 'm' )
					man[M].r = i, man[M++].c = j;
			}
		}
		for ( i = 0; i < M; i++ ) //求最小带权匹配可以将权值改为负数
			for ( j = 0; j < H; j++ )
				map[i][j] = -(abs(man[i].r-house[j].r) + abs(man[i].c-house[j].c));
        KM();
		for ( j = 0; j < H; j++ )
			res -= map[match[j]][j];
		printf("%d\n",res);
	}
	return 0;
}