旋度定理(Curl Theorem)和散度定理(Divergence theorem)

旋度和散度基础

首先说说格林公式（Green's theorem）。对于一段封闭曲线，若其围城的区域D为单连通区域（内部任意曲线围城的区域都属于院区域），则有如下公式：

其中其中L为D的边界，取正方向。如果沿着L前进，左边是D的内部区域，那么此时的L定义为正方向。

利用格林公式求面积的方法：曲线围成的区域的面积为：

格林是十八世纪英国自学成才的数学家，他只上过一年学。1828年格林三十五岁的时候，把他当时对数学的研究写成小册子分发给民众。五年后，在一位乡野数学家的帮助下，他得以进入了剑桥大学学习。但是，格林在其短暂的一生中默默无名。

1841年，格林逝世。

1842年，一位年轻的数学家斯托克斯和物理学家开尔文发表了格林公式的推广形式。斯托克斯是爱尔兰人，曾就读于剑桥大学，他当年只有23岁。所谓的斯托克斯定理(Stokes' Theorem)即为：

可以看出，左式里面跟向量场的旋度是一样的，所以斯托克斯定理也叫旋度定理。

除此之外，斯托克斯发表了一系列流体力学相关的论文，并提出了著名的纳维－斯托克斯方程（Navier-Stokes equations）。见下文：

漫话流体力学

纳维－斯托克斯方程与传统的理论研究方法相比，使用了通量的方法来描述对象，而不是通常的速度或加速度等物理量。

高斯散度定理(Divergence theorem)

高斯散度定理，或称高斯定理（Gauss's theorem），也可以算是斯托克斯定理的特例。

其中，n为向量F在Sigma外侧法向量上的投影。

高斯定理的直观含义为，某个区域流出量的通量，等于所有流出点和流入点量的差。