漫话距离(By Dahua Lin@MIT)

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我们的生活从来不缺乏距离的概念， 无论是时间的还是空间的，可以测量的还是不可以测量的。自我们来到这个世界，就会用我们还很幼小的眼睛测量着自己和身边的人的距离，然后跟着距离自己最近 的人学叫“妈妈”；长大了，我们学会了用“距离产生美”这种不知道属于公理还是定理的命题，提醒自己不要和心仪的mm走得太近；而垂垂老矣的人们则开始计 算自己到生命终点的距离，盘算着什么时候该立遗嘱了。

什么叫距离呢？随便翻开一本数学教科书，你会发现，这些书会在这个或者那个角落告诉 你，所谓距离，就是一个符合对称性和三角不等式的非负二元函数。为什么要符合对称性和三角不等式呢——大部分的书会告诉你，这是规定——不符合的就不是距 离。少部分负责任一些的书会告诉你，不符合这些条件的“距离”会多麻烦。于是你接受了。

当你放下书本，回到我们多姿多彩的生活中的时候， 这个呆板的定义似乎不能有效地解决你生活中的问题。你去hiking的时候，入口处告诉你，从山下到山上的距离是多少多少里路，按说上山和下山的距离是一 样的，可是当你攀到山顶又走回来的时候，心里可能犯嘀咕，怎么感觉距离不一样呢？伟大的数学家们是不会错的。这是相对论！——那些费了半天劲才把洛仑兹变 换搞明白的人们，生怕错过了这个机会就没有机会显示自己深厚的物理底蕴了。不过，我只是相信一点，根据目前人类的进化水平，即使把世界短跑冠军的运动速度 和地球公转自转速度加起来再乘以10，离光速还远着呢。

再说一个例子，不知道男同胞们是不是发现，当你想去接近你的梦中情人的时候，距离 似乎遥不可及——走出太阳系似乎都没有那么远，反过来，当她想接近你的时候，这个距离比任何预先给定的正实数都小——我有点怀疑，牛顿或者莱布尼茨当年是 不是有过类似体验，才总结出了微机分——这告诉我们为什么微机分不是女生提出的。

为了能让距离去解释上面说到的现象，我们有必要把它的概 念推广一下，把对称性去掉——很多情况下，我们甚至把三角不等式也去掉。一个著名的例子，就是Kullback-Leibler divergence——用来描述两个分布的“距离”。大家注意了，这里定义这个的人很聪明，为了不和数学家作对，他选择叫做divergence，而不 是distance。不过，很多信息论和统计学的书都犹抱琵琶半遮面地告诉我们，其实可以把它YY成为某种距离。伴随着对称性的丧失，距离的方向性出现 了。就是说从a到b的距离，和从b到a的距离是不一样的——恩，这种推广看起来很适合用来计算你和你心仪的人的距离，或者山顶和山脚的距离。

小 学老师告诉我们怎么去量度两个点之间的距离，就是拿一把尺子。可是，很多时候，你没有机会使用直尺的。你所能做的就是从这点走到那点，看看费了多少劲—— 这就是我们大多数人在生活经验中的距离。黎曼老先生，作为理论联系实际的代表，第一次从在数学上总结了这种生活上的距离——geodesic distance，中文叫做测地距离。它是怎么算距离的呢？就是从起点出发，一步步走向目标，然后把每一步费了多少劲加起来。至于，每一步费了多少劲怎么 算，大家都可以有不同的算法——但是，这些都叫Riemann Metric。 为了大家计算距离时的身体健康，鼓励大家节省能源，规定，只有按照最省事的方法到达目标，这样算出来的才叫距离。 不过，在很多实际应用中，大家只能找到比较省事的方法，未必是“最省的”，也睁一只眼闭一只眼，把算出来的东西追加“距离”的光荣称号。

打 破对称性的千年枷锁，扔掉直尺这种陈腐工具，人们获得了空前的思想解放。男生和女生们开始附庸风雅地用曾经只存在于象牙塔的概念——距离——去评价自己和 她或者他的关系。如何评价，见仁见智——在我看来，很多人的metric里面不外乎写了多少情书，给电信公司贡献了多少短信费，qq/msn在线了多少时 间，又或者吃了多少顿麦当劳。。。。。。在这个定义的基础上，“距离产生美”——这个挂在多少人口头的箴言横空出世了。根据距离就是费了多少劲的意思，这 句话告诉我们，只有费了很多功夫，死了无数脑细胞，才能得到，或者还得不到的才是美的；信手而获，不需要追求的，就谈不上美了。从这个意义上说，这句话和 高中的学到的“劳动产生价值”的道理是一样的，只不过，“劳动产生价值”是物质层次的——太俗了，“距离产生美”是精神层次的，档次和格调显然不一样。