向量几何在游戏编程中的使用3

一、使用向量进行障碍检测的原理

上次说了使用向量模拟任意角度的反弹，这次谈谈它的前提---障碍碰撞。

在游戏中进行障碍碰撞检测，基本思路是这样的：给定一个障碍范围，判断物体在这次移动后会不会进入这个范围，如果会，就发生碰撞，否则不发生碰撞。在实际操作中，是用物体的边界来判断还是其他部位判断完全取决于编程者。这时候，就可以从这个部位沿着速度的方向引出一条速度向量线，判断一下这条线段（从检测部位到速度向量终点）和障碍边界线有没有交点，如果有，这个交点就是碰撞点。

 

上面物体A，在通过速度向量移动之后将到达B位置。但是，这次移动将不会顺利进行，因为我们发现，碰撞发生了。碰撞点就在那个红色区域中，也就是速度向量和边界线的交点。 我们接下来的工作就是要计算这个交点，这是一个解线性方程组的过程，那么我们将要用到一样工具...


二、一个解线性方程组的有力工具---克兰姆(Cramer)法则

首先要说明一下的是，这个法则是有局限性的，它必须在一个线性方程组的系数行列式非零的时候才能够使用。别紧张，我会好好谈谈它们的。首先让我来叙述一下这个法则（我会试着让你感觉到这不是一堂数学课）：

如果线性方程组：

A11*X1 + A12*X2 + ... + A1n*Xn = b1
A21*X1 + A22*X2 + ... + A2n*Xn = b2
...................................
An1*X1 + An2*X2 + ... + Ann*Xn = bn

的系数矩阵 A =
__               __
| A11 A12 ... A1n |
| A21 A22 ... A2n |
| ............... |
| An1 An2 ... Ann |
--               -- 

的行列式 |A| != 0 
线性方程组有解，且解是唯一的，并且解可以表示为：

X1 = d1/d , X2 = d2/d , ... , Xn = dn/d （这就是/A/=d为什么不能为零的原因）

这里d就是行列式/A/的值，dn(n=1,2,3...)是用线性方程组的常数项b1,b2,...,bn替换系数矩阵中的第n列的值得到的矩阵的行列式的值，即：

     | b1 A12 ... A1n |
d1 = | b2 A22 ... A2n |
     | .............. |
     | bn An2 ... Ann |

     | A11 b1 ... A1n |
d2 = | A21 b2 ... A2n |
     | .............. |
     | An1 bn ... Ann | 

...

     | A11 A12 ... b1 |
dn = | A21 A22 ... b2 |
     | .............. |
     | An1 An2 ... bn |

别去点击关闭窗口按钮！我现在就举个例子，由于我们现在暂时只讨论2-D游戏（3-D以后会循序渐进的谈到），就来个2-D线性方程组：

(1) 4.0*X1 + 2.0*X2 = 5.0
(2) 3.0*X1 + 3.0*X2 = 6.0

这里有两个方程，两个未知量，则根据上面的Cramer法则：

    | 4.0 2.0 |
d = | 3.0 3.0 | = 4.0*3.0 - 2.0*3.0 = 6.0 （2阶行列式的解法，'\'对角线相乘减去'/'对角线相乘）

     | 5.0 2.0 |
d1 = | 6.0 3.0 | = 5.0*3.0 - 2.0*6.0 = 3.0

     | 4.0 5.0 |
d2 = | 3.0 6.0 | = 4.0*6.0 - 5.0*3.0 = 9.0

则 

X1 = d1/d = 3.0/6.0 = 0.5
X2 = d2/d = 9.0/6.0 = 1.5   

好了，现在就得到了方程组的唯一一组解。 
是不是已经掌握了用Cramer法则解2-D线性方程组了？如果是的话，我们继续。


三、深入研究

这里的2-D障碍碰撞检测的实质就是判断两条线段是否有交点，注意不是直线，是线段，两直线有交点不一定直线上的线段也有交点。现在我们从向量的角度，写出两条线段的方程。

现在有v1和v2两条线段，则根据向量加法：

v1e = v1b + s*v1
v2e = v2b + t*v2

v1b和v2b分别是两线段的一端。s,t是两个参数，它们的范围是[0.0,1.0],当s,t=0.0时，v1e=v1b,v2e=v2b；当s,t=1.0时,v1e和v2e分别是两线段的另一端。s,t取遍[0.0,1.0]则v1e和v2e取遍两线段的每一点。

那么我们要判断v1和v2有没有交点，就让v1e=v2e，看解出的s,t是不是在范围内就可以了：

v1e = v2e
=> v1b + s*v1 = v2b + t*v2
=> s*v1 - t*v2 = v2b - v1b
写成分量形式：

s*x_v1 - t*x_v2 = x_v2b - x_v1b
s*y_v1 - t*y_v2 = y_v2b - y_v1b

现在是两个方程式，两个未知数，则根据Cramer法则：

    | x_v1 -x_v2 |   | 4.0 -2.0 |
d = | y_v1 -y_v2 | = | 1.0 -3.0 | = -10.0

     | x_v2b-x_v1b -x_v2 |   | 5.0 -2.0 |
d1 = | y_v2b-y_v1b -y_v2 | = | 2.0 -3.0 | = -11.0           

s = d1/d = -11.0/-10.0 = 1.1 > 1.0

现在s已经计算出来，没有在[0.0,1.0]内，所以两线段没有交点，从图上看很直观。t没有必要再计算了。所以是物体与障碍没有发生碰撞。如果计算出的s,t都在[0.0,1.0]内，则把它们带入原方程组，计算出v1e或者v2e，它的分量就是碰撞点的分量。

四、理论上的东西已经够多的了，开始写程序

我现在要写一个用于处理障碍碰撞检测的函数，为了测试它，我还准备安排一些障碍：

这是一个凸多边形，我让一个质点在初始位置(10,8),然后给它一个随机速度，这个随机速度的两个分速度在区间[1.0,4.0]内，同时检测是否与边界发生碰撞。当碰撞发生时，就让它回到初始位置，重新给一个随机速度。

// 首先我要记下凸多边形的边界坐标
float poly[2][8] = { 
{ 6.0f , 2.0f , 4.0f , 8.0f , 14.0f , 18.0f , 14.0f , 6.0f } , // 所有点的x分量,最后一个点和第一个点重合
{ 2.0f , 6.0f , 10.0f , 14.0f , 12.0f , 8.0f , 4.0f , 2.0f } // 所有点的y分量
} ;
// 定义一些变量
float x,y ; // 这是质点的位置变量
float vx , vy ; // 质点的速度向量分量

// 好，开始编写碰撞检测函数
bool CollisionTest() { // 当发生碰撞时返回true，否则返回false

float s , t ; // 线段方程的两个参数
// 各个参量
float x_v1 , x_v2 , y_v1 , y_v2 ; 
float x_v2b , x_v1b , y_v2b , y_v1b ; 

for( int i = 0 ; i < 8-1 ; ++i ) { // 循环到倒数第二个点

// 障碍线段
x_v1 = poly[0][i+1]-poly[0][i] ;
y_v1 = poly[1][i+1]-poly[1][i] ; 
// 物体速度向量
x_v2 = vx ;
y_v2 = vy ;
// 障碍向量初始点
x_v1b = poly[0][i] ;
y_v1b = poly[1][i] ;
// 物体位置
x_v2b = x ;
y_v2b = y ;
// 计算d,d1和d2
//    | x_v1 -x_v2 |   
//d = | y_v1 -y_v2 | 
//     | x_v2b-x_v1b -x_v2 |
//d1 = | y_v2b-y_v1b -y_v2 |
//     | x_v1 x_v2b-x_v1b |
//d2 = | y_v1 y_v2b-y_v1b |

d = (x_v1*(-y_v2))-((-x_v2)*y_v1) ;
d1 = ((x_v2b-x_v1b)*(-y_v2))-((-x_v2)*(y_v2b-y_v1b)) ;
d2 = (x_v1*(y_v2b-y_v1b))-((x_v2b-x_v1b)*y_v1) ;

// 判断d是否为零
if( abs(d) < 0.001f ) // 如果等于零做近似处理,abs()用于求绝对值
d = 0.001f ; 

// 计算参量s,t
s = d1/d ;
t = d2/d ;
// 判断是否发生碰撞
// 如果发生了就返回true
if( 0.0f <= s && 1.0f >= s && 0.0f <= t && 1.0f >= t ) 
return true ;

} // for( int i = 0 ; i < 8-1 ; ++i )

// 没有发生碰撞，返回false
return false ;

} // end of function

// 现在对函数做测试
// 初始化质点
x = 10.0f , y = 8.0f ;
vx = vy = (float)(rand()%4+1) ; 

// 进入主循环中
// 假设现在已经在主循环中 
if( CollisionTest() ) { // 如果物体与质点发生碰撞
x = 10.0f , y = 8.0f ;
vx = vy = (float)(rand()%4+1) ;
}
// 质点移动
x+=vx ;
y+=vy ;


现在你就可以结合上次的讨论模拟一个完整的理想物理情景：一个物体在不规则障碍中移动、反弹，永不停息...除非...

至此为止我们讨论了2-D游戏的障碍碰撞检测以及它的编程实现，在此过程中涉及到了线性代数学的知识，以后随着深入还会不断的加入更多的数学、物理知识。