BZOJ 3884(上帝与集合的正确用法-欧拉函数递推找极限)[Template:数论 V2]

3884: 上帝与集合的正确用法

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Description

根据一些书上的记载，上帝的一次失败的创世经历是这样的：

第一天， 上帝创造了一个世界的基本元素，称做“元”。

第二天， 上帝创造了一个新的元素，称作“α”。“α”被定义为“元”构成的集合。容易发现，一共有两种不同的“α”。

第三天， 上帝又创造了一个新的元素，称作“β”。“β”被定义为“α”构成的集合。容易发现，一共有四种不同的“β”。

第四天， 上帝创造了新的元素“γ”，“γ”被定义为“β”的集合。显然，一共会有16种不同的“γ”。

如果按照这样下去，上帝创造的第四种元素将会有65536种，第五种元素将会有2^65536种。这将会是一个天文数字。

然而，上帝并没有预料到元素种类数的增长是如此的迅速。他想要让世界的元素丰富起来，因此，日复一日，年复一年，他重复地创造着新的元素……

然而不久，当上帝创造出最后一种元素“θ”时，他发现这世界的元素实在是太多了，以致于世界的容量不足，无法承受。因此在这一天，上帝毁灭了世界。

至今，上帝仍记得那次失败的创世经历，现在他想问问你，他最后一次创造的元素“θ”一共有多少种？

上帝觉得这个数字可能过于巨大而无法表示出来，因此你只需要回答这个数对p取模后的值即可。

你可以认为上帝从“α”到“θ”一共创造了10^9次元素，或10^18次，或者干脆∞次。

一句话题意：

Input

接下来T行，每行一个正整数p，代表你需要取模的值

Output

T行，每行一个正整数，为答案对p取模后的值

Sample Input

3
2
3
6

Sample Output

0
1
4

HINT

对于100%的数据，T<=1000,p<=10^7

Source

By PoPoQQQ

数论题

直接贴 [BZOJ 3884] 上帝与集合的正确用法【欧拉定理/初等数论】 不想列公式了

· Solution 1

我们温习一下欧拉定理： 
 
和它的推广： 

我们发现，这题的n,p并不一定互素啊，怎么办呢？我们可以让他们强行互素。 
利用公式： 

我们把原题中的p分为2^k+y 
所以原式化为 

此时y是奇数，和指数互质了！然后就可以愉快地使用欧拉定理–原式化为 

我们发现中间的指数一部分又与原问题相似，于是想到可以递归求解。 
那边界是什么呢？我们发现，phi(y)会不断缩小，而且每次至少会除去一个2，所以递归的深度最多为log2(p),当y=1时，返回0即可。

需要事先筛好phi值或者直接需要的时候根号时间计算求解。

复杂度O(p+log2(p))–线性筛/O(log2(p)*sqrt(p))–直接计算。 
实践过程中第二种方法远远快于第一种。

· Solution 2

还是根据公式 

设答案为f(p),有 
 
同样递归求解即可，复杂度同第一个解。

发现在模板中沿用至今的sub()居然是错的，666...

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<functional>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cctype>
#include<ctime>
using namespace std;
#define For(i,n) for(int i=1;i<=n;i++)
#define Fork(i,k,n) for(int i=k;i<=n;i++)
#define Rep(i,n) for(int i=0;i<n;i++)
#define ForD(i,n) for(int i=n;i;i--)
#define RepD(i,n) for(int i=n;i>=0;i--)
#define Forp(x) for(int p=pre[x];p;p=next[p])
#define Forpiter(x) for(int &p=iter[x];p;p=next[p])  
#define Lson (x<<1)
#define Rson ((x<<1)+1)
#define MEM(a) memset(a,0,sizeof(a));
#define MEMI(a) memset(a,127,sizeof(a));
#define MEMi(a) memset(a,128,sizeof(a));
#define INF (2139062143)
#define MAXN (1000000)
typedef long long ll;
ll mul(ll a,ll b,ll F){return (a*b)%F;}
ll add(ll a,ll b,ll F){return (a+b)%F;}
ll sub(ll a,ll b,ll F){return (a-b+llabs(a-b)/F*F+F)%F;}
void upd(ll &a,ll b,ll F){a=(a%F+b%F)%F;}

class Math
{
public: 
	ll gcd(ll a,ll b){if (!b) return a;return gcd(b,a%b);}  
//	ll abs(ll x){if (x>=0) return x;return -x;} 
	ll exgcd(ll a,ll b,ll &x, ll &y)  
	{  
	    if (!b) {x=1,y=0;return a;}  
	    ll g=exgcd(b,a%b,x,y);  
	    ll t=x;x=y;y=t-a/b*y;  
	    return g;     
	}  
	ll pow2(ll a,int b,ll p)  //a^b mod p 
	{  
	    if (b==0) return 1;  
	    if (b==1) return a;  
	    ll c=pow2(a,b/2,p);  
	    c=c*c%p;  
	    if (b&1) c=c*a%p;  
	    return c;  
	}  
	ll Modp(ll a,ll b,ll p)  //a*x=b (mod p)
	{  
	    ll x,y;  
	    ll g=exgcd(a,p,x,y),d;  
	    if (b%g) {return -1;}  
	    d=b/g;x*=d,y*=d;  
	    x=(x+abs(x)/p*p+p)%p;  
	    return x;  
	}  
	int h[MAXN];  
	ll hnum[MAXN];  
	int hash(ll x)  
	{  
	    int i=x%MAXN;  
	    while (h[i]&&hnum[i]!=x) i=(i+1)%MAXN;  
	    hnum[i]=x;
	    return i;
	}
	ll babystep(ll a,ll b,int p)  // a^x = b (mod p)
	{  
		MEM(h) MEM(hnum)
		int m=sqrt(p);while (m*m<p) m++;  
	    ll res=b,ans=-1;  
	      
	    ll uni=pow2(a,m,p);  
	    if (!uni) if (!b) ans=1;else ans=-1; //特判  
	    else  
	    {  
	          
	        Rep(i,m+1)  
	        {  
	            int t=hash(res);  
	            h[t]=i+1;  
	            res=(res*a)%p;  
	        }  
	        res=uni;  
	        
			For(i,m+1)  
			{  
	            int t=hash(res);  
	            if (h[t]) {ans=i*m-(h[t]-1);break;}else hnum[t]=0;  
	            res=res*uni%p;  
	        }  
	        
		}  
		return ans; 
	}  
	
	ll phi(ll x)
	{
		ll re=x;
		for(ll i=2;i*i<=x;i++)
		{
			if (x%i==0)
			{
				re=re/i*(i-1);
				while (x%i==0) x/=i;
			}
		}
		if (x>1) re=re/x*(x-1);
		return re;
	}
}S;

int p;

ll calc(ll p)
{
	if (p==1) return 0;
	
	ll q=p;
	int k=0; while (q%2==0) q/=2,k++;
		
	ll phiQ=S.phi(q);
	
	ll res=(1<<k)*S.pow2( 2LL, sub(calc(phiQ),k,phiQ) ,q );
	
	
	return res%p;
}

int main()
{
//	freopen("bzoj3884.in","r",stdin);
//	freopen(".out","w",stdout);
	
	
	int T;
	cin>>T;
	while(T--)
	{
		cin>>p;
		cout<<calc(p)<<endl;
	}

	
	return 0;
}