动态规划——矩阵连乘的问题

《问题的引出》

看下面一个例子，计算三个矩阵连乘{A1，A2，A3}；维数分别为10*100 , 100*5 , 5*50

按此顺序计算需要的次数（（A1*A2）*A3）:10X100X5+10X5X50=7500次

按此顺序计算需要的次数（A1*（A2*A3））:10X5X50+10X100X50=75000次

所以问题是：如何确定运算顺序，可以使计算量达到最小化。

枚举显然不可，如果枚举的话，相当于一个“完全加括号问题”，次数为卡特兰数,卡特兰数指数增长，必然不行。

《建立递归关系》

子问题状态的建模（很关键）：令m[i][j]表示第i个矩阵至第j个矩阵这段的最优解。

显然如果i=j，则m[i][j]这段中就一个矩阵，需要计算的次数为0；

     如果i>j，则m[i][j]=min{m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]Xp[k]Xp[j]},其中k,在i与j之间游荡，所以i<=k<j ;

代码实现时需要注意的问题：计算顺序！！！

因为你要保证在计算m[i][j]查找m[i][k]和m[k+1][j]的时候，m[i][k]和m[k+1][j]已经计算出来了。

观察坐标的关系如图：

所以计算顺序如上右图：相应的计算顺序对应代码为13-15行

m[1][n]即为最终求解，最终的输出想为（（A1（A2 A3））（（A4 A5）A6））的形式，不过没有成功，待思考...

#include<iostream>
  using namespace std;
  const int MAX = 100;
 //p用来记录矩阵的行列，main函数中有说明
 //m[i][j]用来记录第i个矩阵至第j个矩阵的最优解
 //s[][]用来记录从哪里断开的才可得到该最优解
 int p[MAX+1],m[MAX][MAX],s[MAX][MAX];
 int n;//矩阵个数
 
 void matrixChain(){
     for(int i=1;i<=n;i++)m[i][i]=0;
 
     for(int r=2;r<=n;r++)//对角线循环
         for(int i=1;i<=n-r+1;i++){//行循环
             int j = r+i-1;//列的控制
             //找m[i][j]的最小值，先初始化一下，令k=i
             m[i][j]=m[i][i]+m[i+1][j]+p[i-1]*p[i]*p[j];
             s[i][j]=i;
             //k从i+1到j-1循环找m[i][j]的最小值
             for(int k = i+1;k<j;k++){
                 int temp=m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j];
                 if(temp<m[i][j]){
                     m[i][j]=temp;
                     //s[][]用来记录在子序列i-j段中，在k位置处
                     //断开能得到最优解
                     s[i][j]=k;
                 }
             }
         }
 }
 
 //根据s[][]记录的各个子段的最优解，将其输出
 void traceback(int i,int j){
     if(i==j)return ;
 
     traceback(i,s[i][j]);
     traceback(s[i][j]+1,j);
     cout<<"Multiply A"<<i<<","<<s[i][j]<<"and A"<<s[i][j]+1<<","<<j<<endl;
 }
 
 int main(){
     cin>>n;
     for(int i=0;i<=n;i++)cin>>p[i];
     //测试数据可以设为六个矩阵分别为
     //A1[30*35],A2[35*15],A3[15*5],A4[5*10],A5[10*20],A6[20*25]
     //则p[0-6]={30,35,15,5,10,20,25}
     //输入：6 30 35 15 5 10 20 25
     matrixChain();
 
     traceback(1,n);
     //最终解值为m[1][n];
     cout<<m[1][n]<<endl;
     return 0;
 }