hihoCoder #1143 : 骨牌覆盖问题·一
【题目链接】：click here~~
时间限制:
10000ms
单点时限:
1000ms
内存限制:
256MB
- 样例输入
-
62247088
- 样例输出
-
17748018
描述
骨牌，一种古老的玩具。今天我们要研究的是骨牌的覆盖问题：
我们有一个2xN的长条形棋盘，然后用1x2的骨牌去覆盖整个棋盘。对于这个棋盘，一共有多少种不同的覆盖方法呢？
举个例子，对于长度为1到3的棋盘，我们有下面几种覆盖方式：
提示：骨牌覆盖
提示：如何快速计算结果
输入
第1行：1个整数N。表示棋盘长度。1≤N≤100,000,000
输出
第1行：1个整数，表示覆盖方案数 MOD 19999997
我们考虑在已经放置了部分骨牌(灰色)的情况下，下一步可以如何放置新的骨牌(蓝色)：
那么通过对上面的观察，我们可以发现：
在任何一个放置方案最后，一定满足前面两种情况。而灰色的部分又正好对应了长度为N-1和N-2时的放置方案。由此，我们可以得到递推公式:
f[n] = f[n-1] + f[n-2];
这个公式是不是看上去很眼熟？没错，这正是我们的费波拉契数列。
f[0]=1,f[1]=1,f[2]=2,...
当N很小的时候，我们直接通过递推公式便可以计算。当N很大的时候，只要我们的电脑足够好，我们仍然可以直接通过递推公式来计算。
但是我们学算法的，总是这样直接枚举不是显得很Low么，所以我们要用一个好的算法来加速(装X)。
事实上，对于这种线性递推式，我们可以用矩阵乘法来求第n项。对于本题Fibonacci数列，我们希望找到一个2x2的矩阵M，使得(a, b) x M = (b, a+b)，其中(a, b)和(b, a+b)都是1x2的矩阵。
显然，只需要取M = [0, 1; 1, 1]就可以了：
进一步得到：
结合这两者我们可以得到一个算法：
1. 先计算出所有的{a^1, a^2, a^4 ... a^(2^j)}，因为该数列满足递推公式，时间复杂度为O(logN)
2. 将指数n二进制化，再利用公式将对应的a^j相乘计算出a^n，时间复杂度仍然为O(logN)
则总的时间复杂度为O(logN)
这种算法因为能够在很短时间内求出幂，我们称之为“快速幂”算法。
代码：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
const LL MOD=19999997;
LL N;
int i,j;
struct Matrlc
{
LL mapp[2][2];
} ans,base;
Matrlc unit= {1,0,0,1};
Matrlc mult(Matrlc a,Matrlc b)
{
Matrlc c;
for(int i=0; i<2; i++)
for(int j=0; j<2; j++)
{
c.mapp[i][j]=0;
for(int k=0; k<2; k++)
c.mapp[i][j]+=(a.mapp[i][k]*b.mapp[k][j])%MOD;
c.mapp[i][j]%=MOD;
}
return c;
}
LL pow(LL n)
{
base.mapp[0][0] =base.mapp[0][1]=base.mapp[1][0]=1;
base.mapp[1][1]=0;
ans.mapp[0][0] = ans.mapp[1][1] = 1;// ans 初始化为单位矩阵
ans.mapp[0][1] = ans.mapp[1][0] = 0;
while(n)
{
if(n&1) ans=mult(ans,base);
base=mult(base,base);
n>>=1;
}
return ans.mapp[0][1]%MOD;
}
int main()
{
scanf("%lld",&N);
printf("%lld\n",pow(N+1)%MOD);
return 0;
}