从14连号概率题来看“做学问不知足”

前几天，博客摘录了《裘法祖：“做人要知足，做事要知不足，做学问要不知足。”》，后来又写了《一个概率题：从1138号中抽签514号，有14个连号的概率多少？》。

这里好奇心、好战（喜欢挑战）心，好斗（不服输）心，也许在作怪，心里反反复复，一直放不下。也许是对“做学问要不知足”做了一个绝好的注释。

第一回：常识+平常心 非常必要。

从小就有一句话：学好数理化，走遍天下都不怕。这句话以偏概全，也许误导了好几代人，因为学好数理化不是充分条件。但是在许多时候数学是成功的必要条件（要求）。比如，学好数学的排列组合概率，你对中彩票会有相应的理解，也绝不会上传销的当。

在这次老河口市14连号，与上次武汉市6连号事件中，就有许多常识问题要提醒大家。

上次武汉6连号，已证明是舞弊，相关人员就已被处理。

这次老河口市居然14连号，一下子更是引起轩然大波。因为直观上，6连号是作弊，14连号的绝对更是作弊。网上的博客，一些记者（学文科的概率极大）纷纷撰文，有一个标题最有意思《“6连号”是丑闻，“14连号”是趣闻？》，其中质疑“估计武汉“6连号”当事人要郁闷了，人家“14连号”都是正常的，为什么当初要揪着我“6连号”不放？”。

我不想介入敏感话题，也希望并相信相关部门能调查清楚，还原事实真相。在这里我只是就数学问题进行科普：这次14连号的概率真的比6连号大得多，而且已到了不能忽略不计。

理由是：武汉市是5141选124名，出现6连号。老河口市是1138名选514名，出现16连号。

分析：

武汉，每个中签率是124/5141=2.412%, 出现6连号的概率是千万亿分之一，（据专家数据，本人严重怀疑；本人估算约为亿分之一；按下不提）。这种事情基本上为不可能时间。这就是常识。

老河口市，每个中签率是514/1138=45.167%，出现14连号的概率为0.84%。（又有专家得出1.49%的概率，这和本人目前的错误算法如出一辙，且看下回分解）。这种概率比彩票（六合彩等）的概率多几千几万倍，已不能忽略不计。因为根据百度数据：

看“国家统计局网站”或者“行政区划网”

县级市374个；1642个县（自治县、旗、自治旗、特区和林区）。 截至2003年底,全国县级以上行政区划共有：23个省，5个自治区，4个直辖市，2个特别行政区；51个地区（州、盟），比上年减少了6个；660个市，其中：直辖市4个；地级市282个，比上年增加7个；县级市374个,比上年减少7个；1642个县（自治县、旗、自治旗、特区和林区），比上年减少7个；845个市辖区，比上年增加15个。全国共设有5个自治区；30个自治州；117个自治县；3个自治旗。

就是说，如果600个市，按0.84%概率，会有5个市出现这种情况。

这里我用极端的比喻解释: 因为老河口中签率高，中签数又高，所以14连号的概率非常高，如果算6连号的可能性几乎百分之百。大家想象一下，如果1138个选13个，不可能有14连号；选14个，可能是14个都在一起，也许是千万亿分之一；如果1138选1138个，那么14个连号以上是百分之百，因为1138个号全连一起。搁东北话说：“那是必须地”。

所以大家姑且用平常心，静观事态发展。如果有舞弊，好，抓一个是一个。不过没有，就相信这是个趣闻吧。

第二回：做学问要不知足 非常重要

我觉得人活着要有追求，有思想，有活力。所以求知欲、创新能力、坚韧性非常重要。至少对延缓“帕金森综合症”有绝对好处。这里我将“做学问要不知足”简单解释成好奇心+好战心+好斗心几个特性。

我的博客一稿多投，却发现这个挑战题的回应不同。

· 我个人网站（www.vincentyang.cn）：这个网站自从遵守**法令，去掉匿名回帖后，就没法回帖了。只是作为我的文稿存档。

· MSN Live Space：这幸亏有个医学博士朋友，被我点名挑战，回答了。（答案基本思路与我错误一样）。

· 一个医学网上博客：几乎没人知道，我都不看。

· CSDN 博客：这有18个回复，出乎我的意料。其中还有引到另一个网站（http://www.newsmth.net/bbstcon.php?board=Mathematics&gid=72337），看来我绝不是绝无仅有的“闲的病”患者。只是其中有些解法我“有看没有懂”。

· CSDN学生大讲堂：没有一个答案，这也出乎我的意料。因为我觉得，学生应该有能力，时间，精力来解决这类问题。固然现在哪的人气还不旺，但是是否大家都缺乏一种“好学、好战、好斗”精神，这有点令人担忧。

所以在裘老“做学问要不知足”鞭策下，花了点时间动手解题，其中一波三折，富有戏剧性。

（一）科班的排列组合解法

这是个典型的排列组合问题。可以看做有1138个格子，在其中选出514个格子放上标志（比如放个珍珠）。

所以，所有的可能总数为

其中：有14个连号的情况如下：

第一步假想先有14个珍珠，连成一串14节的项链，放在1138个格子上，那么项链头可放在1, 2, …, (1125=1138-14+1)格上，（因为从1126格开始，项链尾就出了1138格了）。共有1125种可能性。

第二步，就是把余下的500=514-14个珍珠放在余下的1124=1138-14个格子里。这又是典型的排列组合：

所以答案是：

（注：这里面包括了多个14连号，15个以上连号的问题，所以这个概率数严格的定义是有14或更多连号的概率）

（二）编程算法碰壁：

有了这样的答案，就好办了，懒鬼杨某绝不会用计算器一个一个键敲的。

第一选择是Excel，碰壁，居然没有组合函数!

得，第二方案：我自己写程序。估计不用100行，容易。设计也很简单，一个阶乘子函数double Factorial(int N); 一个组合子函数double Comination(int M, int N)，再加个子函数MyPossibility(int m, int n, int length)，主函数直接调用，在屏幕输出就好了。十分钟搞定。

结果，系统出错。设断点，查Bug。

傻了：即使我已经英明的选用了64位double数，可以存大约324位十进制数，1138！绝对没法算，专业术语叫系统溢出。

（注：这就是项目管理中说的，凡是你认为不可能发生的问题，一定都会发生！也就是许多软件看上去简单，实际上所好都有技术含量，一分钱一分货。

昨天和一个院长谈，他说他们医院选了一家北京公司做HIS，结果做了两年内没做出来，现在可能做不下去了。仔细一谈，原来系统大约四、五十万，还要求按照他们的要求订做，还希望有LIS，PACS。我和院长说，这个价，你没法做，失败是意料之中的。我给他算一本帐，现在一个本科大学生，大约3000-3500一个月，加上五险一金，每个月成本至少5000。四、五十万扣掉营业税，差旅费，只够我请4~5个大学生做两年。那你得到的就是大学生给你的产品。因为任何系统做好都要花大钱的，绝不只是算一张光盘多少钱，而且都是定制的软件是没法维护的）。

（三）简化算法：

直接算没戏了，只好回到数学算法来简化，结果比想象的简单：

这样，算法就非常清晰了，而且，分解到最后一步，就不怕溢出了。 就是用Excel，也能算出来：

P(1138,514,14) = 0.014995   // 14个连号以上

P(1138,514,15) = 0.006664   // 15个连号以上

这样14连号（不含15以上连号）的概率为0.00833

第三回：做事要知不足 绝对真理

好了，到此为止，我的算法理论上看似完美，和许多大专家观点一致。可以开始写博客了，发表解法了。

呵呵，“做事要知不足”，否则绝对报应。

首先，我用算法顺便就想算算出现1连号，2连号,…,20连号各多少？（好奇心，想画一个曲线，看看趋势）

又傻了，屏幕显示：

P(1138, 514, 1) = 514
P(1138, 514, 2) = 231.706502636204
P(1138, 514, 3) = 104.339251846734
P(1138, 514, 4) = 46.9342937444375
P(1138, 514, 5) = 21.089418334505
P(1138, 514, 6) = 9.46606166866227
P(1138, 514, 7) = 4.24427125126252
P(1138, 514, 8) = 1.90092360811846
P(1138, 514, 9) = 0.85045742326078
P(1138, 514, 10) = 0.380071680306808
P(1138, 514, 11) = 0.169668845770267
P(1138, 514, 12) = 0.0756590686369187
P(1138, 514, 13) = 0.0337008451248742
P(1138, 514, 14) = 0.0149947810013872
P(1138, 514, 15) = 0.00666434711172764
P(1138, 514, 16) = 0.00295863808607837
P(1138, 514, 17) = 0.00131202294467233
P(1138, 514, 18) = 0.000581172373887833
P(1138, 514, 19) = 0.000257146741702378
P(1138, 514, 20) = 0.000113649676020247

啊？有概率 》100% ？ = 51400%？一看就错了。

再分析，按我的解法，有许多重复计算的错误，

1） 比如14个一串的项链，前头加1个，或后头加1个，成为15个一串时，被重复统计。

2） 如果有两串14个一串的项链，同样被统计了两次。

3） 类似重复统计的可能性太多，且不能简单排除。

同时，通过一个5个选3个案例，手工列举所有10种可能；有1连号、2连号，3连号的的概率为10%，60%，30%。 不一定是越短越大。而通过我原来的算法，2连号的概率为120%，所以绝对错误。

（注：在CSDN博客上，有XYYHun 的程序模拟出来的结果是： 摇奖1000000次，出现14次连号次数8443，概率为0.008443。我比较相信，如果算法验证无误，这是检验正确答案的最佳方法。）

（又注：上述0.84%概率是包括15个以上连号的，与我得到的0.83%，碰巧想近，但不是一个概念）

第四回：做人要知足，为什么我不甘心？

嗨，害人害己，原想挖个坑害人，结果把自己坑进去了。一整个周末，脑子了挥之不去的诱惑，最后得到的“自叹不如，江郎才尽”的感叹。想过一些递推或递归的算法，但我知道这都不是我现在数学能力能解决的了。

好吧，洗洗，睡吧。

难道这就是裘老说的“做人要知足”? 太不甘心了！

URL： http://vincentyang.cn/blogs/vincentyang/archive/2009/08/02/860.aspx