二分图---一起复习一下啊！
二分图
二分图又称作二部图，是图论中的一种特殊模型。 设G=(V,E)是一个无向图，如果顶点V可分割为两个互不相交的子集(A,B)，并且图中的每条边（i，j）所关联的两个顶点i和j分别属于这两个不同的顶点集(i in A,j in B)，则称图G为一个二分图。
简而言之，就是顶点集V可分割为两个互不相交的子集，并且图中每条边依附的两个顶点都分属于这两个互不相交的子集。
定义：无向图G = <V，E，Y>称为二分图（bipartite graph），如果有非空集合X，Y使X∪Y = V，X∩Y = Æ，且对每一eÎE，Y(e) = (x, y)，xÎX，yÎY。此时常用<X，E，Y>表示二分图G。若对X中任一x及Y中任一y恰有一边eÎE，使Y(e) = (x, y), 则称G为完全二分图（complete bipartite graph）。当|X| = m，|Y| = n时，完全二分图G记为Km,n。
例1 图1中（b）为二分图，（c）为完全二分图K3,3，（a），(d), (e)不是二分图。
二分图的下列特征性是重要的。
定理 无向图G为二分图的充分必要条件是，G至少有两个顶点,且其所有回路的长度均为偶数。
证 先证必要性。
设G为二分图<X，E，Y>。由于X，Y非空，故G至少有两个顶点。若C为G中任一回路，令
C = ( v0,v 1,v2,…,v l-1,v l = v0 )
其中诸vi ( i = 0,1,…,l )必定相间出现于X及Y中，不妨设
{v0,v2,v4,…, v l = v0} Í X
{v1,v3,v5,…, v l-1} Í Y
因此l必为偶数，从而C中有偶数条边。
再证充分性。
设G的所有回路具有偶数长度，并设G为连通图（不失一般性，若G不连通，则可对G的各连通分支作下述讨论）。
令G的顶点集为V，边集为E，现构作X，Y，使<X，E，Y> = G。取v0ÎV,置
X = {v | v= v0或v到v0有偶数长度的通路}
Y = V-X
X显然非空。现需证Y非空，且没有任何边的两个端点都在X中或都在Y中。
由于|V|≥2并且G为一连通图，因此v0必定有相邻顶点，设为v1，那么v1ÎY；故Y不空。
设有边(u, v), 使uÎX，vÎX。那么，v0到u有偶数长度的通路，或u = v0；v0到v有偶数长度的通路，或v = v0。无论何种情况，均有一条从v0到v0的奇数长度的闭路径，因而有从v0到v0的奇数长度的回路（因从闭路径上可能删去的回路长度总为偶数），与题设矛盾。故不可能有边（u, v）使u, v均在X中。
“没有任何边的两个端点全在Y中”的证明可仿上进行，请读者思考。
二分图是十分有用的一种数学模型，许多问题可以用它来刻划。例如“资源分配”、“工作安排”、“人员择偶”等等。但是，利用二分图分析解决这类问题时，还需要有关二分图的另一个概念——匹配。