说一说等价关系

 

在《线性代数》的学习过程中，同学们会遇到“等价” 这个词：矩阵之间的等价关系，向量组之间的等价关系等等。其实“等价”这个词不仅仅局限于数学中的应用，它是一个很广泛的概念，就在咱们身边，好多关系都是等价关系。

如果某种关系具有自反性，对称性和传递性，那么就称这种关系为等价关系。

自反性就是任何一个事物总可以和自己有这样的关系；比如：血型相同的关系，自己和自己总是血型相同的关系；但是同学关系就不具备这个特点，自己不能是自己的同学。

对称性是如果A事物和B事物有这样的关系，则B事物也和A事物有这种关系；不如：血型相同的关系，显然是满足这个条件的。同学关系也是满足这个条件的。但是领导关系就不能说A是B的领导，B也是A的关系。

传递性则是说如果A事物和B事物有此关系，B事物和C事物也有这种关系，那么A和C有此关系。又比如：血型相同关系，A与B血型相同，B与C血型相同，则A与C血型相同。同学关系就又不满足这个条件了。

我们用~表示等价关系。如果用符号“~”来表示上面三种特性，那么它们分别是：自反性：A~A；对称性：A~B，则B~A；传递性：A~B且B~C，则A~C。

在实践中，我们常常利用等价关系把事物进行分类。分类是人们认识事物性质的一种方法，而按等价关系分类恰是一种分类的抽象方法，广泛地应用于各种具体情况。这种分类方法首先要找到事物见的等价关系，再按照等价关系把事物分类，使得属于同一类的事物互相都是等价的，不同类的事物都没有等价关系。这样得到的每一类称为一个等价类。在代数中，所有等价的矩阵就是一个等价类，所有等价的向量组也称为一个等价类。等价的矩阵必然有相同的秩而具有相同秩的矩阵不一定等价。但是同型矩阵只要秩相等就等价；等价的向量组有相同的秩但是具有相同秩的向量组不一定等价。用血型相同的关系也把人类分成几个等价类。这样的分类使人们找到早先经常引起的输血事故的原因，并通过事先验血的方法来避免这些事件发生。

另外，在以后学习图论等课程时，还可以看到一个概念——“连通”。比如：一个地区内，如果两个城镇之间有公路连接，我们就把这两个城镇成为是连通的。显然，连通关系是一种等价关系。按这一关系可以把整个地区划分成若干等价类：同一个等价类内的城镇可以乘汽车相互来往，不同的等价类内的城镇汽车不能通行。如果交通部门要改善交通状况，就应该适当选取不同等价类的城镇，修一条路把他们连接起来。这样两个原来不等价的等价类就成为一个等价类了。如果这么分析，我们就可以用一种最有效的办法改变交通状况了。

数学总是抽象于生活，并且超前于生活。它把生活中复杂表面掩饰的简单本质看清楚，并给以研究，推动着人类社会的进步。