计算机基础—任意整数补码的快速计算方法

       这几天读《深入理解计算机系统》（英文名: Computer Systems : A Programmer's Perspective）一书时，再次复习到了整数的各种类型及其表示方法。本科学习计算机组成原理时，学过原码、反码、补码的概念，可惜应付完考试就基本忘光了。。。 

       之前只是依稀记得对于有符号整数，要用最高位来表示符号，在不考虑溢出的情况下：

     1）对于有符号正数：最高位为0，原码、反码、补码均等于原码

     2）对于有符号负数：最高位为1，原码除符号位外，其余位与其相对应的正数原码对应位相等，反码等于原码符号位不变，其余位取反，补码等于反码+1，也即其原码符号位不变，其余位取反后再加1

        当时只是死背规律，不清楚为啥补码可以通过做这样”变换“得到，每次计算补码时，硬套”公式“，先写原码再反转+1，效率极低。。。

        阅读了《深入理解计算机系统》第2章第2小节，现在终于掌握了补码的快速计算方法（非计算机科班出身，现在才搞清计算方法，自己都觉得汗颜 o_o），作为笔记，记录于此。

        首先需要明确一个基本概念，即bit串本身是没有意义的，只有结合特定上行文 ( context )中才能表示具体信息，才具有实际意义。下面开始介绍正文。

        补码定义：

        将书中给出的补码定义式摘出如下（想深入了解来龙去脉的童鞋，强烈推荐阅读此书相关章节）：

                                      

       该式定义了w bits的2进制位串对应的补码值的数学表示，即binary to two's-complement的数学计算式。是一个位向量，一个w位的位向量也可以表示成[x(w-1), x(w-2), ..., x(0)]，其中x(i)表示第i位的bit值（0或1）。

       对于补码，其最高有效位x(w-1)也称符号位，其权重为-2^(w-1)，符号位被设置为1时，表示值为负，当设置为0时，值为非负。

       根据上式，一个由w bits的位向量表示的补码可以这样计算：

       1）对于正数，即为0 - (w-2)位的加权和（因为此时最高有效位，即第w-1位，为0，故其实是剩余w-2位的加权和，可见，与原码计算方法一致）

       2）对于负数，最高有效位除表示符号位外，也参与计算，其权重为-2^(w-1)，该值再与剩余w-2位的加权和求和，从而得到最终补码值

       另外需要明确的是，位向量与补码值的对应关系是双射，即给定一个位向量，其表示的补码值是唯一的，反之，给定一个补码值，可以反推出一个唯一的位向量。

实例：

     1. 给定10进制值，求其2进制补码表示 

       例如，求-15的2进制补码表示

       思路：大于15的且为2的n次幂的数列最小值为16，即2^4，考虑符号后，小于-15且绝对值为2的n次幂的数列最大值显然是 -1 * 2^4，可见，-15需要一个5 bits的位向量表示，具体计算过程为：-15 = -1 * 2^4 + 1 * 2^0，将其表示成位向量即为10001

       同理，-23 = -1 * 2^5 + 1 * 2^3 + 1 * 2^0，表示成位向量即为101001

       至此，对于给定的10进制数值，其2进制补码表示的快速计算方法，就介绍完了，掌握方法的基础上多加练习即可。

     2. 给定补码的2进制表示，反推其10进制数值

       这个过程更简单，求各位加权和，只需记得最高有效位除表示符号外，也参与计算且权重为-2^(w-1)即可

       例如：已知11001011为某数的补码2进制表示，则该值的10进制值为：-1 * 2^7 + 1 * 2^6 + 1 * 2^3 + 1 * 2^1 + 1 * 2^0 = -53

       上面的例子旨在说明计算方法，当遇到很大的数值需要计算时，如调试程序时看到0xfffffffa之类的值，上面的介绍的计算方法未免有点力不从心，还有其它的快速计算技巧，本文提到的书中有所说明，此处不再赘述。

    （全帖完）