动态规划解最长公共子序列问题

转自：http://blog.csdn.net/yysdsyl/article/details/4226630

动态规划法

经常会遇到复杂问题不能简单地分解成几个子问题，而会分解出一系列的子问题。简单地采用把大问题分解成子问题，并综合子问题的解导出大问题的解的方法，问题求解耗时会按问题规模呈幂级数增加。

为了节约重复求相同子问题的时间，引入一个数组，不管它们是否对最终解有用，把所有子问题的解存于该数组中，这就是动态规划法所采用的基本方法。

【问题】 求两字符序列的最长公共字符子序列

问题描述：字符序列的子序列是指从给定字符序列中随意地（不一定连续）去掉若干个字符（可能一个也不去掉）后所形成的字符序列。令给定的字符序列X=“x0，x1，…，xm-1”，序列Y=“y0，y1，…，yk-1”是X的子序列，存在X的一个严格递增下标序列<i0，i1，…，ik-1>，使得对所有的j=0，1，…，k-1，有xij=yj。例如，X=“ABCBDAB”，Y=“BCDB”是X的一个子序列。

考虑最长公共子序列问题如何分解成子问题，设A=“a0，a1，…，am-1”，B=“b0，b1，…，bm-1”，并Z=“z0，z1，…，zk-1”为它们的最长公共子序列。不难证明有以下性质：

（1） 如果am-1=bn-1，则zk-1=am-1=bn-1，且“z0，z1，…，zk-2”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列；

（2） 如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=am-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列；

（3） 如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=bn-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列。

这样，在找A和B的公共子序列时，如有am-1=bn-1，则进一步解决一个子问题，找“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bm-2”的一个最长公共子序列；如果am-1!=bn-1，则要解决两个子问题，找出“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列和找出“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列，再取两者中较长者作为A和B的最长公共子序列。

求解：

引进一个二维数组c[][]，用c[i][j]记录X[i]与Y[j] 的LCS 的长度，b[i][j]记录c[i][j]是通过哪一个子问题的值求得的，以决定搜索的方向。
我们是自底向上进行递推计算，那么在计算c[i,j]之前，c[i-1][j-1]，c[i-1][j]与c[i][j-1]均已计算出来。此时我们根据X[i] = Y[j]还是X[i] != Y[j]，就可以计算出c[i][j]。

问题的递归式写成：

回溯输出最长公共子序列过程：

算法分析：
由于每次调用至少向上或向左（或向上向左同时）移动一步，故最多调用(m + n)次就会遇到i = 0或j = 0的情况，此时开始返回。返回时与递归调用时方向相反，步数相同，故算法时间复杂度为Θ(m + n)。

代码：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define MAXLEN 100

void LCSLength(char*x, char *y,int m, int n, int c[][MAXLEN],int b[][MAXLEN])
...{
   int i, j;
   
   for(i = 0; i<= m; i++)
        c[i][0]= 0;
   for(j = 1; j<= n; j++)
        c[0][j]= 0;
   for(i = 1; i<= m; i++)
   ...{
       for(j = 1; j<= n; j++)
       ...{
           if(x[i-1]== y[j-1])
           ...{
                c[i][j]= c[i-1][j-1]+ 1;
                b[i][j]= 0;
            }
           else if(c[i-1][j]>= c[i][j-1])
           ...{
                c[i][j]= c[i-1][j];
                b[i][j]= 1;
            }
           else
           ...{
                c[i][j]= c[i][j-1];
                b[i][j]= -1;
            }
        }
    }
}

void PrintLCS(int b[][MAXLEN],char *x,int i, int j)
...{
   if(i ==0 || j== 0)
       return;
   if(b[i][j] == 0)
   ...{
        PrintLCS(b, x, i-1, j-1);
        printf("%c", x[i-1]);
    }
   else if(b[i][j]== 1)
        PrintLCS(b, x, i-1, j);
   else
        PrintLCS(b, x, i, j-1);
}

int main(int argc,char **argv)
...{
   char x[MAXLEN]= ...{"ABCBDAB"};
   char y[MAXLEN]= ...{"BDCABA"};
   int b[MAXLEN][MAXLEN];
   int c[MAXLEN][MAXLEN];
   int m, n;
   
    m= strlen(x);
    n= strlen(y);
   
    LCSLength(x, y, m, n, c, b);
    PrintLCS(b, x, m, n);
   
   return 0;
}