中国剩余定理解线性同余方程

       先说一个典故：淮安民间传说着一则故事——“韩信点兵”，其次有成语“韩信点兵，多多益善”。韩信带1500名兵士打仗，战死四五百人，站3人一排，多出2人；站5人一排，多出4人；站7人一排，多出6人。韩信马上说出人数：1049。而在一千多年前的《孙子算经》中，也有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”按照今天的话来说：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数。这样的问题，也有人称为“韩信点兵”.它形成了一类问题，也就是初等数论中的解同余式问题。在《孙子算经》中，该书的作者已经给出了该类问题的具体描述以及该类问题的解法。这个发现要比西方早很多年，现在这个问题的推广和解法被称之为中国剩余定理。

       到了明代，到了明代，数学家程大位用诗歌概括了这一算法，他写道：

三人同行七十稀，五树梅花廿一枝;

七子团圆月正半，除百零五便得知。

       这首诗的意思是：用3除所得的余数乘上70，加上用5除所得余数乘以21，再加上用7除所得的余数乘上15，结果大于105就减去105的倍数，这样就知道所求的数了。

      下面给出中国剩余定理的一般描述和证明。

      中国剩余定理描述：

• 令 n1, n2, …, nt为两两互素的正整数;

• 令 N= n1*n2* …*nt (其中t是一个正整数);

•  则以下同余系统：x= a1 mod n1, x= a2 mod n2, …, x= at mod nt, 中x会在[0, N-1]内有唯一解。

      下面给出中国剩余定理的证明：

首先我们计算N/ni，其中i=1,2,3,...,t。（即N/ni = n1*n2*...*n(i-1)*n(i+1)*...*nt,不包括ni），由n1到nt这t个数两两互素，可以知道N/ni和ni互素，也就是说（N/ni，ni）的最大公约数是1.

这样我们就可以定义：

• yi * (N/ni) = 1 mod ni

即

• yi 等于N/ni模ni的逆

这样算出所有的yi我们就可以构造一个x如下：

• 

下面我们来验证这个x是否满足上面同余系统中的要求：

对于同余系统中的第i个方程：

• x mod ni
•  = (N/n1)*y1*a1 + (N/n2)*y2*a2 + ... + (N/ni)*yi*ai + ... + (N/nt)*yt*at  mod ni   
• = (N/ni)*yi*ai mod ni    //因为只有(N/ni)这一项中没有ni这一个因子
• = ai  //由上面的分析知道yi是(N/ni)对于模ni的逆，即yi * (N/ni) = 1 mod ni

所以对于所有i, 1≤ i ≤t,都有：

因此这个x是满足上面同余系统的要求的，也就是说我们找到了这样一个解满足上述同余式组。又由于一个素数对于模i的逆是唯一的，即对于素数a和b至多只能找到一个这样的整数c使得 a * c = 1 mod b。所以yi都只有一个解，都是唯一的，因此x也是唯一的。也就是说这个同余系统有且仅有一个解，而且这个解就是：

• 

下面可以用这种方法来解同余式组：

例如：

• x = 2 mod 3

• x = 3 mod 5

• x = 2 mod 7

第一步我们计算N=3×5×7=105,然后计算N/ni：

N/n1=35, N/n2=21, N/n3=15

然后来求所有的yi：

y1 = 35 模 3 的逆 =2 ， y2= 21模 5的逆 =1 ， y3 = 15模7的逆 =1;

得到了这些之后，就直接用上面构造的那个x，就可以得到所求解了：

x = 35×2×2 + 21×1×3 + 15×1×2 mod 105 =  23

不确定的话再代入检验一下。