最小公约数-辗转相除法&stein算法

欧几里德算法（辗转相除法）是计算两个数最大公约数的传统算法，他无论从理论还是从效率上都是很好的。
代码如下:

int Gcd(int m, int n) //辗转相除法，求最大公约数
{
	return m == 0 ? n : Gcd(n % m, m);
}

int Lcm(int m, int n) //最小公倍数
{
	return (m * n / Gcd(m, n));
}

但是他有一个致命的缺陷，这个缺陷只有在大素数时才会显现出来。 

考 虑现在的硬件平台，一般整数最多也就是64位，对于这样的整数，计算两个数之间的模是很简单的。对于字长为32位的平台，计算两个不超过32位的整数的 模，只需要一个指令周期，而计算64位以下的整数模，也不过几个周期而已。但是对于更大的素数，这样的计算过程就不得不由用户来设计，为了计算两个超过 64位的整数的模，用户也许不得不采用类似于多位数除法手算过程中的试商法，这个过程不但复杂，而且消耗了很多CPU时间。对于现代密码算法，要求计算 128位以上的素数的情况比比皆是，设计这样的程序迫切希望能够抛弃除法和取模。 


Stein算法由J. Stein 1961年提出，这个方法也是计算两个数的最大公约数。和欧几里德算法 算法不同的是，Stein算法只有整数的移位和加减法，这对于程序设计者是一个福音。 

为了说明Stein算法的正确性，首先必须注意到以下结论： 

gcd(a,a) = a，也就是一个数和他自身的公约数是其自身 
gcd(ka,kb) = k gcd(a,b)，也就是最大公约数运算和倍乘运算可以交换，特殊的，当k=2时，说明两个偶数的最大公约数必然能被2整除 
当k不能整除b，gcd(ka,b)=gcd(a,b)，也就是约掉两个数中只有其中一个含有的因子不影响最大公约数。特殊地，当k=2时，说明计算一个偶数和一个奇数的最大公约数时，可以先将偶数除以2。

算法步骤：
　   1、如果A=0，B是最大公约数，算法结束
　　2、如果B=0，A是最大公约数，算法结束
　　3、设置A1=A、B1=B和C1=1
　　4、如果An和Bn都是偶数，则An+1=An/2，Bn+1=Bn/2，Cn+1=Cn*2(注意，乘2只要把整数左移一位即可，除2只要把整数右移一位即可)
　　5、如果An是偶数，Bn不是偶数，则An+1=An/2，Bn+1=Bn，Cn+1=Cn(很显然啦，2不是奇数的约数)
　　6、如果Bn是偶数，An不是偶数，则Bn+1=Bn/2，An+1=An，Cn+1=Cn(很显然啦，2不是奇数的约数)
　　7、如果An和Bn都不是偶数，则An+1=|An-Bn|/2，Bn+1=min(An,Bn)，Cn+1=Cn
　　8、n加1，转1

代码如下：

int gcd(int a ,int b)
{
	if(a < b)
	{//arrange so that a>b
		int temp = a;
		a = b;
		b=temp;
	}
	if(0 == b)//the base case
		return a;
	if(a % 2 == 0 && b % 2 == 0)//a and b are even
		return 2 * gcd(a / 2, b / 2);
	if ( a % 2 == 0)// only a is even
		return gcd(a / 2, b);
	if ( b % 2 == 0 )// only b is even
		return gcd(a, b / 2);

	return gcd((a + b) / 2, (a -b ) / 2);// a and b are odd
}