八皇后问题--递归与非递归的实现
八皇后问题是一个古老而著名的问题，是回溯算法的典型例题。该问题是十九世纪著名的数学家高斯1850年提出：在8X8格的国际象棋上摆放八个皇后，使其不能互相攻击，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上，问有多少种摆法。
下面是算法的高级伪码描述，这里用一个N*N的矩阵来存储棋盘：
1) 算法开始, 清空棋盘，当前行设为第一行，当前列设为第一列
2) 在当前行，当前列的位置上判断是否满足条件(即保证经过这一点的行,列与斜线上都没有两个皇后)，若不满足，跳到第4步
3) 在当前位置上满足条件的情形：
在当前位置放一个皇后，若当前行是最后一行，记录一个解；
若当前行不是最后一行，当前行设为下一行, 当前列设为当前行的第一个待测位置；
若当前行是最后一行，当前列不是最后一列，当前列设为下一列；
若当前行是最后一行，当前列是最后一列，回溯，即清空当前行及以下各行的棋盘，然后，当前行设为上一行，当前列设为当前行的下一个待测位置；
以上返回到第2步
4) 在当前位置上不满足条件的情形：
若当前列不是最后一列，当前列设为下一列，返回到第2步;
若当前列是最后一列了，回溯，即，若当前行已经是第一行了，算法退出，否则，清空当前行及以下各行的棋盘，然后，当前行设为上一行，当前列设为当前行的下一个待测位置，返回到第2步;
一种递归的实现
数据结构：在Ｎ*Ｎ的矩阵中，设皇后与列对应，摆放皇后，即是要找到皇后对就的行。i 表示第几个皇后，queue[i]表求皇后所在的行。
1.存放第 i 个皇后：从第1行到Ｎ行，对每一行进行试探，每次试探检查是否符合要求，
2.若符合要求，则检查是否为最后个皇后（即最后一列）
3.若是，则打印出所有皇后对应的位置坐标。若不是最后一个则对下皇后进行找位，即返回到1处再执行
/*递归方法的一种实现*/
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define max 8
int queen[max], sum=0; /* max为棋盘最大坐标 ,sum 计数输入的方案数量*/
void show() {/* 输出所有皇后的坐标 */
int i;
for(i = 0; i < max; i++){
printf("(%d,%d) ", i, queen[i]);
}
printf("\n");
sum++;
}
int check(int n) {/* 检查当前列能否放置皇后 */
int i;
for(i = 0; i < n; i++){ /* 检查横排和对角线上是否可以放置皇后 */
if(queen[i] == queen[n] || abs(queen[i] - queen[n]) == (n - i)) {
return 0;
}
}
return 1;
}
void put(int n) {/* 回溯尝试皇后位置,n为第Ｎ个皇后 */
int i;
for(i = 0; i < max; i++){
queen[n] = i; /* 将皇后摆到当前循环到的位置 */
if(check(n)){
if(n == max - 1){
show(); /* 如果全部摆好，则输出所有皇后的坐标 */
}
else{
put(n + 1); /* 否则继续摆放下一个皇后 */
}
}
}
}
int main()
{
put(0); /* 从第0个皇后开始放起 */
printf("%d", sum);
system("pause");
return 0;
}
但是一般来说递归的效率比较差，下面重点讨论一下该问题的非递归实现。
一种非递归的实现
非递归方法的一个重要问题时何时回溯及如何回溯的问题。程序首先对N行中的每一行进行探测，寻找该行中可以放置皇后的位置，具体方法是对该行的每一列进行探测，看是否可以放置皇后，如果可以，则在该列放置一个皇后，然后继续探测下一行的皇后位置。如果已经探测完所有的列都没有找到可以放置皇后的列，此时就应该回溯，把上一行皇后的位置往后移一列，如果上一行皇后移动后也找不到位置，则继续回溯直至某一行找到皇后的位置或回溯到第一行，如果第一行皇后也无法找到可以放置皇后的位置，则说明已经找到所有的解程序终止。如果该行已经是最后一行，则探测完该行后，如果找到放置皇后的位置，则说明找到一个结果，打印出来。但是此时并不能再此处结束程序，因为我们要找的是所有N皇后问题所有的解，此时应该清除该行的皇后，从当前放置皇后列数的下一列继续探测。
/**
* 回溯法解N皇后问题
* 使用一个一维数组表示皇后的位置
* 其中数组的下标表示皇后所在的行
* 数组元素的值表示皇后所在的列
* 这样设计的棋盘，所有皇后必定不在同一行，于是行冲突就不存在了
* date : 2011-08-03
* author: liuzhiwei
**/
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
#define QUEEN 8 //皇后的数目
#define INITIAL -10000 //棋盘的初始值
int a[QUEEN]; //一维数组表示棋盘
void init() {//对棋盘进行初始化
int *p;
for (p = a; p < a + QUEEN; ++p) {
*p = INITIAL;
}
}
int valid(int row, int col) { //判断第row行第col列是否可以放置皇后
int i;
for (i = 0; i < QUEEN; ++i) { //对棋盘进行扫描
if (a[i] == col || abs(i - row) == abs(a[i] - col)) //判断列冲突与斜线上的冲突
return 0;
}
return 1;
}
void print() { //打印输出N皇后的一组解
int i, j;
for (i = 0; i < QUEEN; ++i) {
for (j = 0; j < QUEEN; ++j) {
if (a[i] != j) //a[i]为初始值
printf("%c ", '.');
else //a[i]表示在第i行的第a[i]列可以放置皇后
printf("%c ", '#');
}
printf("\n");
}
for (i = 0; i < QUEEN; ++i)
printf("%d ", a[i]);
printf("\n");
printf("--------------------------------\n");
}
void queen(){ //N皇后程序
int n = 0;
int i = 0, j = 0;
while (i < QUEEN){
while (j < QUEEN) { //对i行的每一列进行探测，看是否可以放置皇后
if(valid(i, j)) { //该位置可以放置皇后
a[i] = j; //第i行放置皇后
j = 0; //第i行放置皇后以后，需要继续探测下一行的皇后位置，所以此处将j清零，从下一行的第0列开始逐列探测
break;
}else{
++j; //继续探测下一列
}
}
if(a[i] == INITIAL) { //第i行没有找到可以放置皇后的位置
if ( 0 == i) //回溯到第一行，仍然无法找到可以放置皇后的位置，则说明已经找到所有的解，程序终止
break;
else { //没有找到可以放置皇后的列，此时就应该回溯
--i;
j = a[i] + 1; //把上一行皇后的位置往后移一列
a[i] = INITIAL; //把上一行皇后的位置清除，重新探测
continue;
}
}
if (i == QUEEN - 1) { //最后一行找到了一个皇后位置，说明找到一个结果，打印出来
printf("answer %d : \n", ++n);
print();
//不能在此处结束程序，因为我们要找的是N皇后问题的所有解，此时应该清除该行的皇后，从当前放置皇后列数的下一列继续探测。
//_sleep(600);
j = a[i] + 1; //从最后一行放置皇后列数的下一列继续探测
a[i] = INITIAL; //清除最后一行的皇后位置
continue;
}
++i; //继续探测下一行的皇后位置
}
}
int main(void){
init();
queen();
system("pause");
return 0;
}