ceoi2004 锯木厂选址
此题的证明和公式可搞得够呛。。我是参考了以前的几分论文一起才搞懂的
PS：谁能告诉我在csdn中怎么插入公式啊。。。
首先我们定义几个变量：
Sw【i】=∑w【i】表示前i棵树的的总重量
Sd【i】=∑d【i】表示第一棵树到i棵树的距离其中Sd【1】=0； Sd【n+1】表示第一棵树到山脚锯木厂的距离
Cost【i】表示第i棵树的位置建立一个锯木厂，然后将前i-1棵树运送到次锯木厂的总花费
其中Cost【1】=0
Cost【i 】=Cost【i-1】+Sw【i-1】*d【i-1】（1 < i <=n ）
然后这里我要解释下为什么锯木厂一定在第i棵树上建而不在中间建，因为题目有个限制说树木只能从山上运往山下
那么考虑如果有一个锯木厂在i与i+1之间，那么必然i+1的树木不能运到i位置，而只能往下一个运，那么第树木运到两树中间那个锯木厂和运送到某个树的锯木厂相比，花费的增量必然是前者大，所以我们可以得锯木厂必然在某个树位置上
然后现在用Trans【i，j】表示第 i到j棵树全部搬到第 j棵树位置上建立的锯木厂的总花费
Trans【i，j】=Cost【j】- Cost【i-1】-Sw【i-1】*（Sd【j】-Sd【i-1】）其中Sw【i-1】*（Sd【j】-Sd【i-1】）是因为有i-1棵树多算了i-1到j的价值
现在我们用F【i】表示将第二个锯木厂建造在第i棵树的位置上所花费的最小代价
F【i】=min{ Cost【j】+Trans【j+1，i】+Trans【i+1，n+1】 | 1<=j<i }
到这里已经可以算是一个dp方程了，但是这个复杂度任然是O（n^2）
然后我们继续往下走
用F【i，j】来表示第一个伐木场建设在j，第二个伐木场建设在i时的总代价
然后在这里我们要对单调性进行证明：
当有第二个伐木场建在i处时，如果最优值是在第一个锯木厂的j处时取到最优值，那么如果有第二个伐木场在i+1处时，此时的第一个伐木场的最优值不会在j位置之前取到，这也算是一个无后效性吧
证明如下（参考论文）：
+++++++++++ J1 ++++++++++ J2 +++++++++++ i +++++++++
我们用数轴从左到右表示山上到山下，且J1<J2 同时F【i，J1】<F【i，J2】
F【i，j1】-F【i，j2】<0
等价于
=Cost【j1】+Trans【j1+1，i】+Trans【i+1，n+1】
-Cost【j2】-Trans【j2+1，i】-Trans【i+1，n+1】
=Cost【j1】+Cost【i】-Cost【j1】-Sw【j1】*（Sd【i】-Sd【j1】）
-Cost【j2】-Cost【i】+Cost【j2】+Sw【j2】*（Sd【i】-Sd【j2】）
=Sw【j2】*(Sd【i】-Sd【j2】)-Sw【j1】*（Sd【i】-Sd【j1】）
=Sw【j1】Sd【j1】-Sw【j2】Sd【j2】+Sw【j2】sd【i】-Sw【j1】Sd【i】<0
然后化成斜率形式
（Sw【j1】Sd【j1】-Sd【j2】Sw【j2】）/（Sw【j1】-Sw【j2】）>Sd【i】
通过这个我们可以得到对于F【i，j1】 与F【i，j2】的值比较只与j1，j2有关而与i无关。既然我们化成斜率的形式，那么我们将K【J1，J2】表示为斜率
即 K【J1，J2】>Sd【i】 则j1的方案优与j2 所以问题简化成我们对于每一个i在前面找J1，J2 而且答案就是F【i】=F【i，j1】
那么我们还是通过图画出来（图来自论文）：
假设K【j1，j2】>Sd[i] ，K【j2，j3】<Sd【i】 则 F【i，j1】< F【i，j2】，F【i，j2】>F【i，j3】 通过图像发现j2输入上凸函数，而我们要找的是一个下凸函数的切线 即 F【i】=F【i，j1】
由于Sd是：Sd【i】=∑d【i】表示第一棵树到i棵树的距离其中Sd【1】=0； Sd【n+1】表示第一棵树到山脚锯木厂的距离
那么必然Sd【i】是单调递增的，对于给定j1，j2 在i增到一定时，最优值必然是下凸曲线的切线，然后这样就是斜率优化dp了