快速幂取模算法

本文转载自 yyf573462811 的CSDN博客

所谓的快速幂，实际上是快速幂取模的缩写，简单的说，就是快速的求一个幂式的模(余)。在程序设计过程中，经常要去求一些大数对于某个数的余数，为了得到更快、计算范围更大的算法，产生了快速幂取模算法。

我们先从简单的例子入手：求a ^ b % c = ?
算法1.首先直接地来设计这个算法：

int ans = 1;
for(int i = 1;i<=b;i++)
{
	ans = ans * a;
}
ans = ans % c

这个算法的时间复杂度体现在for循环中，为O(b).这个算法存在着明显的问题，如果a和b过大，很容易就会溢出。
那么，我们先来看看第一个改进方案，这个方案需要用到同余定理：

(a * b * c)  % mod =((a * b) % mod) * c % mod

于是不用思考的进行了改进：
算法2：

int ans = 1;
a = a % c; //加上这一句
for(int i = 1;i<=b;i++)
{
	ans = ans * a;
}
ans = ans % c;

既然某个因子取余之后相乘再取余保持余数不变，那么新算得的ans也可以进行取余，所以得到比较良好的改进版本。
算法3:

int ans = 1;
a = a % c; //加上这一句
for(int i = 1;i<=b;i++)
{
	ans = (ans * a)% c;//这里再取了一次余
}
ans = ans % c;

这个算法在时间复杂度上没有改进，仍为O(b)，不过已经好很多的，但是在c过大的条件下，还是很有可能超时，
所以，我们推出以下的快速幂算法。
1.如果b是偶数，我们可以记k = a^2 mod c，那么求k ^ (b/2) mod c就可以了。
2.如果b是奇数，我们也可以记k =a^2 mod c，那么求
(k^ (b/2) mod c * a ) mod c =(k^(b/2) mod c * a) mod c 就可以了。
算法4：

int ans = 1;
a = a % c;
if(b%2==1)
ans = (ans *a) mod c; //如果是奇数，要多求一步，可以提前算到ans中
k = (a*a) % c; //我们取a2而不是a
for(int i = 1;i<=b/2;i++)
{
	ans = (ans *k) % c;
}
ans = ans % c;

我们可以看到，我们把时间复杂度变成了O(b/2).当然，这样子治标不治本。但我们可以看到，当我们令k = (a * a) mod c时，状态已经发生了变化，我们所要求的最终结果即为k^(b/2) mod c而不是原来的a^b mod c，所以我们发现这个过程是可以迭代下去的。当然，对于奇数的情形会多出一项a mod c，所以为了完成迭代，当b是奇数时，我们通过
ans = (ans * a) % c;

来弥补多出来的这一项，此时剩余的部分就可以进行迭代了。
形如上式的迭代下去后，当b=0时，所有的因子都已经相乘，算法结束。于是便可以在O(log b)的时间内完成了。于是，有了最终的算法：快速幂算法。
算法5：快速幂算法：

int ans = 1;
a = a % c;
while(b>0)
{
	if(b % 2 == 1)
	ans = (ans * a) % c;
	b = b/2;
	a = (a * a) % c;
}

将上述的代码结构化，也就是写成函数：

int PowerMod(int a, int b, int c)
{
	int ans = 1;
	a = a % c;
	while(b>0)
	{
		if(b % 2 = = 1)
		ans = (ans * a) % c;
		b = b/2;
		a = (a * a) % c;
	}
	return ans;
}