POJ 2533 Longest Ordered Subsequence(LIS:最长上升子序列)
http://poj.org/problem?id=2533
题意:
给你一个长度为n的数字序列, 要你求该序列中的最长(严格)上升子序列的长度.
分析:
解法一: O(n^2)复杂度.
令dp[i]==x 表示以第i个数字结尾的上升子序列中最长的为x长度.
初始化: dp[0]=0且dp[i]=1 i>=1时.
状态转移: dp[i] =max( dp[j]+1 ) 其中j<i 且a[j]<a[i].
最终所求:max(dp[i]) 其中1<=i<=n.
解法二: O(n*logn)复杂度.
令g[i]==x表示当前遍历到的长度为i的所有最长上升子序列中的最小序列末尾值为x.(如果到目前为止, 根本不存在长i的上升序列, 那么x==INF无穷大)
假设当前遍历到了第j个值即a[j], 那么先找到g[n]数组的值a[j]的下确界(即第一个>=a[j]值的g[k]的k值). 那么此时表明存在长度为k-1的最长上升子序列且该序列末尾的位置<j且该序列末尾值<a[j].
那么我们可以令g[k]=a[j] 且 dp[i]=k (dp含义如解法1).
(上面一段花时间仔细理解)
最终我们可以找出下标最大的i使得: g[i]<INF 中i下标最大. 这个i就是LIS的长.
AC代码1: O(n^2)复杂度
#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; const int maxn=1000+5; int n; int a[maxn]; int dp[maxn]; int main() { while(scanf("%d",&n)==1) { memset(dp,0,sizeof(dp)); for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]); int ans=0;//最终结果LIS长度 for(int i=1;i<=n;i++) { dp[i]=1;//注意这里 for(int j=1;j<i;j++) { if(a[j]<a[i]) dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1); } ans=max(ans,dp[i]); } printf("%d\n",ans); } return 0; }
AC代码1: O(n*logn)复杂度
#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #define INF 1e8 using namespace std; const int maxn=1000+5; int n; int a[maxn]; int g[maxn]; int dp[maxn]; int main() { while(scanf("%d",&n)==1) { for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]); //初始化 memset(dp,0,sizeof(dp)); for(int i=1;i<=n;i++) g[i]=INF; //DP递推 for(int i=1;i<=n;i++) { int k=lower_bound(g+1,g+n+1,a[i])-g; dp[i]=k; g[k]=a[i]; } int ans=0; for(int i=n;i>=1;i--) if(g[i]!=INF) { ans=i; break; } printf("%d\n",ans); } return 0; }