积分器与低通滤波

 积分器与低通滤波

 

        积分器是指系统的输出为输入信号的积分，在离散系统来说则是求和。积分器是从时域来描述系统的特性，那么，从频域来看，积分器有什么特点呢？积分器是一个低通滤波器是一种很普遍的描述，这又如何理解呢？

       首先，从数学的观点来理解。以离散信号为例，当输入为单位冲激信号时，积分器的输出为一个单位阶跃信号。阶跃信号的Z变换可以很容易计算得到，为1/(1-z^-1)。很显然，这个系统只有一个零点，其值为z=0；有一个极点，其值为z=1。在零极图上可以很方便地看出，这个系统在频率为0处响应最大，随着频率逐步增加，响应逐步减小，这显然可以看做是一个低通滤波器。

       其次，从直观上理解，积分器是把前面很多个输入值进行累加。在这个过程中，积分器不同输入值之间的一些比较大的抖动被钝化了,也即是说变化比较大的抖动被平均掉了，也即是相当于高频部分被抑制了，这正好就是低通滤波器的功能。

       在电路中，常用电容和电阻构成一个积分电路。也即是说，电容的充放电过程是一个典型的积分过程。用这个例子可以很好地帮助理解积分器与低通滤波之间的关系。电容充电的过程如下：当电路中突然加上电压之后，电容开始逐步充电，也即是电容两端的电压从0逐步增大，直到电容两端的电压与加在电路两端的电压相等为止。从信号与系统的角度看，电容与电阻组成的电路系统是一个积分器，系统的输入为加在电路两端的电压，输出为电容两端的电压。用电路的知识，可以很容易得到这个系统的响应函数，可以定量地验证积分器与低通滤波器之间的等效关系。这里从概念上解释一下：从刚才所说的物理过程可知，充电过程的输入信号为一个阶跃信号。阶跃信号由于存在一个突变，也即是不连续，这个信号从傅里叶分析的观点来看，必定要包含直到无穷大的高频成分。也即是说，突然的变化包含着更多的高频分量。充电过程的输入信号为从0逐步变化到电压值的一个相对缓变的信号，也即是说变化不是突然的，而是慢慢变大的，这表明输出信号中主要是低频成分。从输入输出信号的关系看，直观上理解是高频分量被抑制了，这正好就是一个低通滤波器。

    需要说明的是，这里主要是从定性，从概念理解的角度说了积分器与低通滤波器之间的等效关系。实际上，从滤波器的观点来看，积分器的频域滤波特性是比较差的，因此常用于时域编码信号的处理。