《算法之道》精华 难解问题部分

《算法之道》精华 难解问题部分

  • 本书作者邹恒明,作者另有一本书《数据结构之弦》,以及《操作系统之哲学原理》都是很好的书
  • 这本书可以算得上是深入浅出,文笔很好,作者添加了很多自己的思考
  • 本文包括难解问题部分

第十三章 易解与难解

  • 易解指的是多项式问题,难解指的是指数级问题
  • 决策问题
    • 需要输出答案是/否
    • 若回答为是,通常需要一个证人来证明。对一个潜在证人,证明之后即为真证人
    • 优化问题和决策问题之间可以相互转化
  • P类问题
    • 确定性多项式时间可解
    • 对于一个决策问题,输入的大小为n,能在n的多项式时间内解决,正确输出是/否
  • NP类问题
    • 非确定性多项式时间可解
    • 对于一个决策问题,大小为n的潜在证人,能在n的多项式时间内解决,正确输出此证人是否为真
    • P类问题指的是能否多项式时间给出答案,NP类问题指的是能否在多项式时间内判断一个潜在答案是否正确
  • (确定性)图灵机
    • 图灵机为一个状态机,根据当前状态、下一个输入字符确定输出、磁头移动方向、下一个状态
    • 任一个问题、算法都能表述为一个字符串,因此图灵机可以解决很多问题
  • 非确定性图灵机
    • 与确定性图灵机相比,给定状态与输入可以有多种选择
    • 能够同时进入所有状态路径,且能做出最好的选择以达到接受状态
    • 非确定性算法:在非确定性图灵机上运行的算法
    • NP问题的另一个定义:使用非确定性算法,在多项式时间内解决
  • P与NP的关系
    • 所有P类问题都是NP的
    • 所有NP不一定是P,直觉如此,但无法证明
    • 部分NP为P,目前已经找到多项式解法,目前没有找到多项式解法的NP问题称为NP-hard

第十四章 NP完全问题

  • 如果NP里每一个问题都可以多项式时间规约到S,则S称为NP难(严谨的定义)。S不比NP里面任一问题容易
  • 如果问题S既是NP难,又是NP里的问题,则称为NP完全问题
  • NP完全的属性
    • 非确定性算法多项式时间可解
    • 完全:解决一个就解决了所有NP完全问题
  • 若找到一个NP完全问题的确定性解法,就证明了NP=P
  • 若找到一个NP难优化问题的多项式时间解,就证明了NP=P
  • NP完全的意义:若能证明一个问题为NP完全问题,则无需再寻找精确解,找到启发性的近似解即可
  • 常见NP完全问题
    • 3-SAT
    • 整数分割
    • 顶点覆盖
    • 汉密尔顿回路 可规约至旅行商问题
    • 完全子图
    • 图的着色
    • 旅行商
    • 整数规划属于NP难问题,但不是NP问题,因此不是NP完全问题

第十五章 无解与近似

  • NP完全只是NP里最难的问题,目前没有找到多项式解法
  • 难解问题不存在多项式解法
  • 不可决定问题:是无解的,即使是指数级也无济于事。但又潜在证人
  • 对于NP完全和难解问题,可以尝试找出次优解
    • 智能穷举
      • 能找的最优解
      • 两种剪枝策略:回溯法、分支限界
      • 如八皇后问题
    • 近似算法
      • 能找到近似的解
      • 如聚类问题、启发式搜索、模拟退火、遗传算法
    • 本地搜索
      • 一种贪婪策略
      • 不断向更优的可行解移动,可能仅能找到局部最优解

  
  

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