最小-最大搜索

《对弈程序基本技术》专题

　

最小 - 最大搜索

　

Bruce Moreland / 文

　

从浅显的地方开始

　

　　在国际象棋里，双方棋手都知道每个棋子在哪里，他们轮流走并且可以走任何合理的着法。下棋的目的就是将死对方，或者避免被将死，或者有时争取和棋是最好的选择。

　　国际象棋程序通过使用“搜索”函数来寻找着法。搜索函数获得棋局信息，然后寻找对于程序一方来说最好的着法。

　　一个浅显的搜索函数用“树状搜索” (Tree-Searching)来实现。一个国际象棋棋局通常可以看作一个很大的 n叉树 (“ n叉树”意思是树的每个结点有任意多个分枝通向其他结点 )，棋盘上目前的局面就是“根局面” (Root Position)或“根结点” (Root Node)。从根局面走一步棋，局面就到达根局面的“分枝” (Branch)，这些局面称为“后续局面” (Successor Position)或“后续结点” (Successor Nodes)。每个后续局面后面还有一系列分枝，每个分枝就是这个局面的一个合理的着法。

　　国际象棋的树非常庞大 (通常每个局面有 35个分枝 )，又非常深。

　　每盘棋局都是一棵巨大的 n叉树，如果能通过树状搜索找到棋局中对双方来说都最好的着法就好了。这个浅显的算法在这里称为“最小 -最大搜索” (Min-max Search)。

　　用最小 -最大搜索来解诸如井字棋的简单棋局是可行的 (即完全了解每一种变化 )。井字棋的博弈树既不烦琐也不深，所以整个树可以遍历，棋局的所有变化都可以知道，任何局面都可以保证找到一步最佳着法。

　　数学上用这种方法处理国际象棋也是可以的，但是目前和不久的将来用计算机去实现，却是不可行的。即便如此，我们仍然可以用基于最小 -最大搜索的程序来下国际象棋。相比最小 -最大地搜索整个树，在一个给定的局面下搜索前几步则是可能的。由于叶子结点的局面没能搜索出杀棋或和棋，所以要用一个称为“评价” (Evaluate)的启发函数给这些局面赋值。尽管程序设计师希望这些值能够通过知识来得到，但它们确实都是猜的。

　

基于最小-最大的评价函数

　

　　我不打算在这里谈很多关于评价函数的细节。这里我只说明它是怎样确定的，在以后的章节中会详细展开。评价函数首先应该返回局面的准确值，在没办法得到准确值的情况下，如果可能的话启发值也可以。它可以由两种方法来决定：

　　 (1) 如果黑方被将死了，那么评价函数返回一个充分大的正数；如果白方被将死了，那么返回一个充分大的负数；如果棋局是和棋 (例如某一方逼和，或者双方都只有王 )，那么返回一个常数，通常是零或接近零。如果不是棋局结束局面，那么它返回一个启发值。我将不详细介绍这个启发值是如何确定的，但是我有把握说子力平衡是首先要考虑的 (如果白方盘面上多子的话，这个值就大 )，而其他位置上的考虑 (兵型、王的安全性、重要的子力等等 )也需要加上。如果白方是赢棋或者很有希望赢，那么启发函数通常会返回正数；如果黑方是赢棋或者很有希望赢，那么返回负数；如果棋局是均势或者是和棋，那么返回在零左右的数值。

　　 (2) 这个函数的工作原理跟第一个一样，只是如果当前局面要走子的一方优势，那么它返回正数，反之是负数。

　

最小 - 最大搜索是如何运作的

　

　　最小 -最大搜索是一对几乎一样的函数，或者说两个逻辑上重复的函数。我写了很少的代码，用一个更好的函数来完成同一件事，但是写出来时却收到一些意见，因此我首先写出纯粹的 (不完美的 )最小 -最大函数，代码如下：

　

int MinMax(int depth) {

　if (SideToMove() == WHITE) {　// 白方是“最大”者

　　return Max(depth);

　} else {　　　　　　　　　　　// 黑方是“最小”者

　　return Min(depth);

　}

}

　

int Max(int depth) {

　int best = -INFINITY;

　if (depth <= 0) {

　　return Evaluate();

　}

　GenerateLegalMoves();

　while (MovesLeft()) {

　　MakeNextMove();

　　val = Min(depth - 1);

　　UnmakeMove();

　　if (val > best) {

　　　best = val;

　　}

　}

　return best;

}

　

int Min(int depth) {

　int best = INFINITY;　// 注意这里不同于“最大”算法

　if (depth <= 0) {

　　return Evaluate();

　}

　GenerateLegalMoves();

　while (MovesLeft()) {

　　MakeNextMove();

　　val = Max(depth - 1);

　　UnmakeMove();

　　if (val < best) { 　// 注意这里不同于“最大”算法

　　　best = val;

　　}

　}

　return best;

}

　

　　上面的代码可以这样调用：

　

val = MinMax(5);

　

　　这样可以返回当前局面的评价，它是向前看 5步的结果。

　　这里的“评价”函数用的是我上面所说第一种定义，它总是返回对于白方来说的局面。

　　我简要描述一下这个函数是如何运作的。假设根局面 (棋盘上当前局面 )是白方走，那么调用的是“ Max”函数，它产生白方所有合理着法。在每个后续局面中，调用的是“ Min”函数，它对局面作出评价并返回。由于现在是白走，因此白方需要让评价尽可能地大，能得到最大值的那个着法被认为是最好的，因此返回这个着法的评价。

　　“ Min”函数正好相反，当黑方走时调用“ Min”函数，而黑方需要尽可能地小，因此选择能得到最小值的那个着法。

　　这两个函数是互相递归的，即它们互相调用，直到达到所需要的深度为止。当函数到达最底层时，它们就返回“ Evaluate”函数的值。

　　如果在深度为 1时调用“ MinMax”函数，那么“ Evaluate”函数在走完每个合理着法之后就调用，选择一个能达到最佳值的那个着法导致的局面。如果层数大于 1，那么另一方有权选择局面，并找一个最好的。

　　以上内容应该不难理解，但是代码很长，下面有个更好的办法。

　

负值最大函数

　

　　负值最大只是对最小-最大的优化，“评价”函数返回我所说的第二种定义，对于当前结点上要走的一方，占优的情况返回正值，其他结点也是对于要走的一方而言的。这个值返回后要加上负号，因为返回以后就是对另一方而言了。代码如下：

　

int NegaMax(int depth) {

　int best = -INFINITY;

　if (depth <= 0) {

　　return Evaluate();

　}

　GenerateLegalMoves();

　while (MovesLeft()) {

　　MakeNextMove();

　　val = -NegaMax(depth - 1); // 注意这里有个负号。

　　UnmakeMove();

　　if (val > best) {

　　　best = val;

　　}

　}

　return best;

}

　

　　在这个函数里，当走子一方改变时就要对返回值取负值，以反映当前局面评价的更改。就根结点是白先走的情况，如果没有剩下的层数，那么“评价”返回的值是就白方而言的，如果有剩下的层数，就产生后续局面，函数对这些局面逐一做递归，每个次递归都得到就黑方而言的评价，黑方走得越好值就越大。当评价值返回时，它们被取负数，变成就白方而言的评价。

　　该函数在遍历时结点的顺序同“最小 -最大”搜索的函数是一样的，产生的返回值也一样。它的代码更短，同时减少了移植代码时出错的可能，代码维护起来也比较方便。

　

　　原文： http://www.seanet.com/~brucemo/topics/minmax.htm

　　译者：象棋百科全书网  ( [email protected] )